Le problème est comment définir un nombre aléatoire.
Si on a construit ou exhibé un nombre, celui-ci n'a plus rien d'aléatoire.
Si par aléatoire tu entends que sa méthode de construction est aléatoire, cela pose un autre problème : comment concevoir un algorithme (qui termine) qui construise un nombre avec une infinité de décimales (irrationnel, apériodique, pour que ça ne dépende pas de la base de numération choisie) ?
On pourrait imaginer un algorithme ou à chaque itération on tire une variable aléatoire X (distribuée uniformément sur les chiffres 0-9) et que ça définisse une nouvelle décimale. Mais cet algorithme ne permet pas de définir le nombre recherché.
On pourrait tenter une autre traduction de la notion d' "aléatoire" : l'équirépartition (ou une autre répartition non nulle sur les chiffres) : quand on lit les décimales, le rapport (nombre d'occurences d'un chiffre donné)/(nombre de décimales lues) tend vers 1/10 (ou autre proportion non nulle). Est-ce qu'un nombre équiréparti est un nombre univers ? Non : on pourrait répéter périodiquement les 10 chiffres. Est-ce qu'un nombre équiréparti apériodique (irrationnel) est un nombre univers ? Je ne pense pas non plus. (contre exemple ?)
Autre approche de l'aléatoire : au lieu d'examiner un nombre, imaginons simplement un processus aléatoire (suite de variables aléatoires) dont la variable aléatoire X_i peut valoir uniformément 0-9. Cet "objet" là est je pense plus proche de ce qu'imaginait nevare. Là, on peut appliquer le raisonnement de nevare, et démontrer que pour tout nombre a1a2a3...ak de k chiffres, il y a une probabilité égale à 1 pour qu'il existe i tel que X(i)X(i+1)X(i+2)...X(i+k-1)=a1a2a3...ak.
Seulement, voilà, même une probabilité égale à 1 ne garantit pas qu'un tel tirage se produira réellement un jour (on dira juste que la propriété est garantie "presque sûrement"). Car il existe au moins 1 tirage (par exemple les tirages périodiques) qui ne vérifie pas cette propriété.
[^] # Re: Pi...
Posté par Aldoo . En réponse au journal Pi en musique. Évalué à 3.
Si on a construit ou exhibé un nombre, celui-ci n'a plus rien d'aléatoire.
Si par aléatoire tu entends que sa méthode de construction est aléatoire, cela pose un autre problème : comment concevoir un algorithme (qui termine) qui construise un nombre avec une infinité de décimales (irrationnel, apériodique, pour que ça ne dépende pas de la base de numération choisie) ?
On pourrait imaginer un algorithme ou à chaque itération on tire une variable aléatoire X (distribuée uniformément sur les chiffres 0-9) et que ça définisse une nouvelle décimale. Mais cet algorithme ne permet pas de définir le nombre recherché.
On pourrait tenter une autre traduction de la notion d' "aléatoire" : l'équirépartition (ou une autre répartition non nulle sur les chiffres) : quand on lit les décimales, le rapport (nombre d'occurences d'un chiffre donné)/(nombre de décimales lues) tend vers 1/10 (ou autre proportion non nulle). Est-ce qu'un nombre équiréparti est un nombre univers ? Non : on pourrait répéter périodiquement les 10 chiffres. Est-ce qu'un nombre équiréparti apériodique (irrationnel) est un nombre univers ? Je ne pense pas non plus. (contre exemple ?)
Autre approche de l'aléatoire : au lieu d'examiner un nombre, imaginons simplement un processus aléatoire (suite de variables aléatoires) dont la variable aléatoire X_i peut valoir uniformément 0-9. Cet "objet" là est je pense plus proche de ce qu'imaginait nevare. Là, on peut appliquer le raisonnement de nevare, et démontrer que pour tout nombre a1a2a3...ak de k chiffres, il y a une probabilité égale à 1 pour qu'il existe i tel que X(i)X(i+1)X(i+2)...X(i+k-1)=a1a2a3...ak.
Seulement, voilà, même une probabilité égale à 1 ne garantit pas qu'un tel tirage se produira réellement un jour (on dira juste que la propriété est garantie "presque sûrement"). Car il existe au moins 1 tirage (par exemple les tirages périodiques) qui ne vérifie pas cette propriété.