Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....

Hum, je suis un peu a la bourre mais voici ma modeste contribution

# Résultat:
Pour tout n>=0 (n entier) et x>=-1
(1+x)^n >= 1+nx

# On peut faire une démo élémentaire par récurence comme tu le propose:

Pour n=0 c'est immediat

Si on suppose le resultat pour n, on a pour n+1:
(1+x)^(n+1) = [(1+x)^n]*[1+x]
>= [1+nx]*[1+x] //en utilisant l'hypothese de récurence et 1+x>=0
>= 1+(n+1)x+x2 //en developpant
>= 1+(n+1)x //car x2>=0

D'ou par recurence, pour tout n>=0 et x>=-1
(1+x)^n >= 1+nx

De plus, si x!=0 on a
(1+x)^(n+1) > 1+(n+1)x //car x2>0

D'ou pour x!=0 et n>0
(1+x)^n > 1+nx


# Remarque: on peut aussi utiliser la formule de Taylor-Lagrange a l'ordre 1:

(1+x)^n = 1 + nx + Int((x-t)*n*(1+t)^(n-1),t,0,x)

Or, pour -1<=x<=0, la fonction qu'on intègre est negative
et les boenes d'integrations sont 'à l'envers', donc l'integrale
est positive, d'ou (1+x)^n >= 1+nx
De meme pour 0<=x, la fonction qu'on intègre est positive,
d'où le résultat


# Ou une démo plus simple:

La fonction x->(1+x)^n est convexe sur [-1,+inf]
(sa derivée seconde n*(n-1)*(1+x)^(n-2) est positive),
elle est donc au dessus de ses tangentes, en particulier
la tangente en 0: T(x)=1+nx (car f(0)=0 et f'(0)=n)


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Un taupin qui est bien content d'en avoir fini.

Note personnelle: j'aime surtout la derniere demo