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explication de la methode utilisée
en fait cette demonstration utilise la méthode de la démonstration par récurrence
tu veut montrer qu'une proposition P(n) est vraie quelque soit n :
1) tu montres qu'elle est vraie pour n=0 ( tu montres P(0) )
2) tu montres que si elle est vraie pour un n donné, alors elle est vraie pour n+1 ( tu montres que P(n) implique P(n+1) )
donc si elle est vraie pour n=0, elle est vraie pour n+1=1
de meme si elle est vraie pour n=1 (ce que je viens de montrer) elle est vraie pour n+1=2
de la meme maniere tu peux le montrer pour tous les "n" possibles
donc elle est vraie pour tout n
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donc ici l'auteur de la demonstration applique cette methode
il montre que (1+x)^0 >= 1+0*x
ce qui est evident
(ca tu l'as pas mis mais j'imagine que ct marqué la ou tu l'as lu
ensuite il veut montrer que si pour un n donné on a :
(1+x)^n >=1+nx
alors pour ce meme n on a :
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x
donc pour ca il prend un n et il suppose qu'on a
(1+x)^n >= 1+nx
ensuite il faut montrer que
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x
allons-y donc :
comme tu le dis,
(1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x)
(egalité (1) )
or on a supposé que :
(1+x)^n >= 1+nx
donc (1+x)^n * (1+x) >= (1+nx) * (1+x)
(en multipliant de chaque coté par (1+x) qui est j'imagine positif, tu dois avoir des contraintes sur x comme x>0 j'imagine, vérifie ton énoncé)
(en effet une inégalité ne change pas de sens si on multiplie chaque membre par un nombre positif)
donc en utilisant l'egalité (1) plus haut, on a :
(1+x)^(n+1) >= (1+nx) * (1+x)
or (1+nx) * (1+x) = 1+(n+1)x+x2
tu trouves ça en développant le produit des 2 sommes
en effet (a+b) * (c+d) = ac+ad+bc+bd
donc on a :
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+x2
or x>=0 (j'imagine) donc x2>=0
donc 1+(n+1)x+x2 >= 1+(n+1)x
or si a>=b et b>=c ca donne a>=c
donc on a enfin :
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x
donc on a bien montré la relation pour n+1, en l'ayant supposée vraie pour n
comme elle est vraie pour n=0, elle est vraie pour tout n
# Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....
Posté par Nap . En réponse au journal Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire..... Évalué à 2.
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explication de la methode utilisée
en fait cette demonstration utilise la méthode de la démonstration par récurrence
tu veut montrer qu'une proposition P(n) est vraie quelque soit n :
1) tu montres qu'elle est vraie pour n=0 ( tu montres P(0) )
2) tu montres que si elle est vraie pour un n donné, alors elle est vraie pour n+1 ( tu montres que P(n) implique P(n+1) )
donc si elle est vraie pour n=0, elle est vraie pour n+1=1
de meme si elle est vraie pour n=1 (ce que je viens de montrer) elle est vraie pour n+1=2
de la meme maniere tu peux le montrer pour tous les "n" possibles
donc elle est vraie pour tout n
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donc ici l'auteur de la demonstration applique cette methode
il montre que (1+x)^0 >= 1+0*x
ce qui est evident
(ca tu l'as pas mis mais j'imagine que ct marqué la ou tu l'as lu
ensuite il veut montrer que si pour un n donné on a :
(1+x)^n >=1+nx
alors pour ce meme n on a :
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x
donc pour ca il prend un n et il suppose qu'on a
(1+x)^n >= 1+nx
ensuite il faut montrer que
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x
allons-y donc :
comme tu le dis,
(1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x)
(egalité (1) )
or on a supposé que :
(1+x)^n >= 1+nx
donc (1+x)^n * (1+x) >= (1+nx) * (1+x)
(en multipliant de chaque coté par (1+x) qui est j'imagine positif, tu dois avoir des contraintes sur x comme x>0 j'imagine, vérifie ton énoncé)
(en effet une inégalité ne change pas de sens si on multiplie chaque membre par un nombre positif)
donc en utilisant l'egalité (1) plus haut, on a :
(1+x)^(n+1) >= (1+nx) * (1+x)
or (1+nx) * (1+x) = 1+(n+1)x+x2
tu trouves ça en développant le produit des 2 sommes
en effet (a+b) * (c+d) = ac+ad+bc+bd
donc on a :
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x+x2
or x>=0 (j'imagine) donc x2>=0
donc 1+(n+1)x+x2 >= 1+(n+1)x
or si a>=b et b>=c ca donne a>=c
donc on a enfin :
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x
donc on a bien montré la relation pour n+1, en l'ayant supposée vraie pour n
comme elle est vraie pour n=0, elle est vraie pour tout n