Bon, on part de là ? (mais tu veux faire quoi en fait ? trouver x ou n ou autre chose ? Ou démontrer la proposition ?)
On voit que l'inégalité est trivialement vérifiée pour n=0 (1=1)
Supposons que ce soit vrai pour n et montrons que, si c'est vrai pour n, ça l'est pour n+1. (récurence)
Donc on doit démontrer que
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x ? (2)
Ce qui est équivalent à démontrer que
=> (1+x)^n*(1+x) >= 1+nx +x ? (3)
On passe de (2) à (3) par simple distributivité à gauche, simple mise en évidence à droite. 2^3 = 2*2^2
Mais aussi, on sait que (1+x)^n*(1+x) >= (1+nx)*(1+x) (4)
(on trouve (4) en multilpliant membres à membres (1) par (1+x) )
Donc, pour démontrer la relation (2), il faudrait que 1+nx+x <= 1+nx+x+nx^2.
en effet. Si A est plus grand que B et que B est plus grand que C, A est fatlement plus grand que C.
C'est trivialement le cas pour tout n positif.
(en supprimant 1+nx+x des 2 cotés on trouve que nx^2 >= 0)
Donc, pour tout n positif, on peut dire que (1+x)^n >=1+nx .
cqfd
(PS : le >= qui devient un > doit être une erreur)
Mes livres CC By-SA : https://ploum.net/livres.html
# Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....
Posté par ploum (site web personnel, Mastodon) . En réponse au journal Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire..... Évalué à 2.
Bon, on part de là ? (mais tu veux faire quoi en fait ? trouver x ou n ou autre chose ? Ou démontrer la proposition ?)
On voit que l'inégalité est trivialement vérifiée pour n=0 (1=1)
Supposons que ce soit vrai pour n et montrons que, si c'est vrai pour n, ça l'est pour n+1. (récurence)
Donc on doit démontrer que
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)x ? (2)
Ce qui est équivalent à démontrer que
=> (1+x)^n*(1+x) >= 1+nx +x ? (3)
On passe de (2) à (3) par simple distributivité à gauche, simple mise en évidence à droite. 2^3 = 2*2^2
Mais aussi, on sait que (1+x)^n*(1+x) >= (1+nx)*(1+x) (4)
(on trouve (4) en multilpliant membres à membres (1) par (1+x) )
Donc, pour démontrer la relation (2), il faudrait que 1+nx+x <= 1+nx+x+nx^2.
en effet. Si A est plus grand que B et que B est plus grand que C, A est fatlement plus grand que C.
C'est trivialement le cas pour tout n positif.
(en supprimant 1+nx+x des 2 cotés on trouve que nx^2 >= 0)
Donc, pour tout n positif, on peut dire que (1+x)^n >=1+nx .
cqfd
(PS : le >= qui devient un > doit être une erreur)
Mes livres CC By-SA : https://ploum.net/livres.html