C'est une demonstration par recurence, la demo n'est pas complète.
J'essaie de la faire rapidement :
Initialisation de la recurence :
pour n=0 : (1+x)^n>=1+nx <=> 1>=1 c'est donc bon
Supposons que pour n=N la relation est bonne (1):
(1+x)^(N+1)=(1+x)^N.(1+x) (par definition de la puissance)
d'apres hypothese (1) (1+x)^N>=1+Nx donc
(1+x)^(N+1)=(1+x)^N.(1+x) >(1+Nx).(1+x) (il y a des contraintes sur x, on ne peut pas multiplier les deux membres de l'inéquation par n'importe quoi, on va dire que (1+x)>=1)
(1+Nx).(1+x)=1+(N+1)x+Nx2 (il y a une erreur dans ta demo, il manque le N devant la puissance de 2)
1+(N+1)x+Nx2>1+(N+1)x
donc on obtient :
(1+x)^(N+1)>1+(N+1)x
C'est la relation pour n=N+1 donc par recurence on demontre que quelque soit n dans N la relation est bonne.
(Ma demo est incomplete au niveau des conditions sur x et sur l'inegalite qui devient strict)
# Re: Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire....
Posté par pap . En réponse au journal Si un MATHEUX pouvait me rafraichir la mémoire..... Évalué à 2.
J'essaie de la faire rapidement :
Initialisation de la recurence :
pour n=0 : (1+x)^n>=1+nx <=> 1>=1 c'est donc bon
Supposons que pour n=N la relation est bonne (1):
(1+x)^(N+1)=(1+x)^N.(1+x) (par definition de la puissance)
d'apres hypothese (1) (1+x)^N>=1+Nx donc
(1+x)^(N+1)=(1+x)^N.(1+x) >(1+Nx).(1+x) (il y a des contraintes sur x, on ne peut pas multiplier les deux membres de l'inéquation par n'importe quoi, on va dire que (1+x)>=1)
(1+Nx).(1+x)=1+(N+1)x+Nx2 (il y a une erreur dans ta demo, il manque le N devant la puissance de 2)
1+(N+1)x+Nx2>1+(N+1)x
donc on obtient :
(1+x)^(N+1)>1+(N+1)x
C'est la relation pour n=N+1 donc par recurence on demontre que quelque soit n dans N la relation est bonne.
(Ma demo est incomplete au niveau des conditions sur x et sur l'inegalite qui devient strict)
J'espere que cela t'auras aidé.