Je comprends à la fois mieux et beaucoup moins bien.
Si je lis bien, la composée de deux relations est la relation indirecte formée entre tout couple d'éléments pour lesquels il existe un intermédiaire lié à gauche au premier élément selon la première relation et à droite au second élément selon la seconde relation.
Avec ça, il y a une chose qui me semble évidente et qui rend le reste tout à fait dénué d'intérêt : composer à gauche ou à droite avec l'égalité ne devrait rien changer du tout à une relation.
En effet, pour la composée à gauche (désolé, l'intégration de LaTeX au sein d'une ligne est trop moche à mon goût) :
étant donnés x et y tels que (x f y), il existe un élément intermédiaire trivial qui est x lui-même et qui respecte évidemment (x i x) et (x f y) ;
étant donnés x et y tels que (x if y), on sait qu'il existe un élément intermédiaire a tel que (x i a) et (a f y), et vu la définition de la relation i, cet élément a n'est autre que x, en conséquence de quoi (x f y) ;
en somme, (x f y) ⟺ (x if y).
Je laisse évidemment la composée à droite au lecteur. À partir de là, toute relation commute avec l'égalité, puisque la composer avec l'égalité par la gauche comme par la droite la laisse juste inchangée. Bref, j'ai à l'évidence dû louper un détail.
Quoi qu'il en soit, un truc plus théorique me chiffonne au point de douter sérieusement de cette histoire de définition d'une fonction comme une relation qui commute avec l'égalité. Pour une relation, la gauche et la droite jouent des rôles symétriques. Pour la notion de commutation, idem. En revanche, pour une fonction, et c'est en fait ce qui la différencie d'une relation, la gauche et la droite ne sont absolument par symétriques, il y a un antécédent et une image qui jouent un rôle tout à fait différent, sauf dans le cas des bijections évidemment.
[^] # Re: Autre passage sympa, le cours de maths intensives qu'il a suivi à Harvard
Posté par 🚲 Tanguy Ortolo (site web personnel) . En réponse au journal Avis sur le livre "Richard Stallman et la révolution du logiciel libre". Évalué à 5 (+2/-0). Dernière modification le 01 juin 2026 à 16:43.
Je comprends à la fois mieux et beaucoup moins bien.
Si je lis bien, la composée de deux relations est la relation indirecte formée entre tout couple d'éléments pour lesquels il existe un intermédiaire lié à gauche au premier élément selon la première relation et à droite au second élément selon la seconde relation.
Avec ça, il y a une chose qui me semble évidente et qui rend le reste tout à fait dénué d'intérêt : composer à gauche ou à droite avec l'égalité ne devrait rien changer du tout à une relation.
En effet, pour la composée à gauche (désolé, l'intégration de LaTeX au sein d'une ligne est trop moche à mon goût) :
Je laisse évidemment la composée à droite au lecteur. À partir de là, toute relation commute avec l'égalité, puisque la composer avec l'égalité par la gauche comme par la droite la laisse juste inchangée. Bref, j'ai à l'évidence dû louper un détail.
Quoi qu'il en soit, un truc plus théorique me chiffonne au point de douter sérieusement de cette histoire de définition d'une fonction comme une relation qui commute avec l'égalité. Pour une relation, la gauche et la droite jouent des rôles symétriques. Pour la notion de commutation, idem. En revanche, pour une fonction, et c'est en fait ce qui la différencie d'une relation, la gauche et la droite ne sont absolument par symétriques, il y a un antécédent et une image qui jouent un rôle tout à fait différent, sauf dans le cas des bijections évidemment.