La commutativité est à comprendre au sens de la catégorie des relations. (Wikipedia utilise la notation ensembliste, mais je préfère et garde comme toi la notation infixe.)
Si je note i la relation égalité pour plus de clarté :
Et f une relation quelconque. Par définition les composées sont les relations g=if et h=fi telles que
La commutativité signifie g = if = fi = h, autrement dit,
Ensuite il faut jouer avec le fait que l’égalité est une relation d’équivalence (transitive et symétrique), en réinjectant dans (1) car :
Pour l’existence de l’image, il suffit de définir un domaine dans lequel la relation est valable (la réflexivité de i faisant le reste) et ce sera le domaine de la fonction.
Ça permet de définir la catégorie des ensembles comme une sous-catégorie des relations. Tout se passe comme si les ensemble était des structure algébrique munis de la relation d’équivalence « = » et que les fonctions sont des homomorphismes des "classes d’équivalences" de l’égalité.
[^] # Re: Autre passage sympa, le cours de maths intensives qu'il a suivi à Harvard
Posté par Nicolas (site web personnel) . En réponse au journal Avis sur le livre "Richard Stallman et la révolution du logiciel libre". Évalué à 2 (+1/-0).
La commutativité est à comprendre au sens de la catégorie des relations. (Wikipedia utilise la notation ensembliste, mais je préfère et garde comme toi la notation infixe.)
Si je note i la relation égalité pour plus de clarté :
Et f une relation quelconque. Par définition les composées sont les relations g=if et h=fi telles que
La commutativité signifie g = if = fi = h, autrement dit,
Ensuite il faut jouer avec le fait que l’égalité est une relation d’équivalence (transitive et symétrique), en réinjectant dans (1) car :
Pour l’existence de l’image, il suffit de définir un domaine dans lequel la relation est valable (la réflexivité de i faisant le reste) et ce sera le domaine de la fonction.
Ça permet de définir la catégorie des ensembles comme une sous-catégorie des relations. Tout se passe comme si les ensemble était des structure algébrique munis de la relation d’équivalence « = » et que les fonctions sont des homomorphismes des "classes d’équivalences" de l’égalité.