Re: Hein ?

Allez, je m'essaye à ce que j'avais promis : pourquoi ne peut-on faire de mathématiques (et donc a fortiori de physique) sans poser les intuitions pures de l'espace et du temps comme fondement ?

Nous allons, pour cela, faire un bon dans le temps et remonter en mésopotamie 3200 ans avant notre ère. Comme stipuler dans la brochure sur l'histoire des mathématiques de mon précèdent message, c'est là que remonte les premières traces d'activité mathématique. On y faisait de l'arithmétique élémentaire afin de compter les nombres de têtes de bétails dans les troupeaux, dans un système rudimentaire en base 10 constitué de batônnets et de billes d'argiles. Plus tard, vers -2500 ans, ils furent remplacer par des encoches sur des tablettes. Comme l'écrivait Gilles Dowek dans Les métamorphoses du calcul :

Il est même vraisemblable, quoiqu'il soit difficile d'avoir des certitudes en ce domaine, que l'écriture ait été inventée précisément pour tenir des livres de comptes et que les chiffres soient, de ce fait, antérieurs aux lettres. Même si certains ont du mal à l'admettre, nous devons probablement l'ensemble de la culture écrite à la bien peu romantique profession de comptable.

Je fais une petite disgression pour conseiller la lecture de ce livre (qui aborde la question que j'évoquais plus haut de Frege vs Kant, entre autres) pour ceux intéressés par les problèmatiques mathématiques qui ont amené Turing a développer sa notion de machine unverselle à calculer, ainsi que par les liens ténus qu'entretiennent le calcul et le raisonnement mathématique. Son auteur, Gilles Dowek, nous a malheureusement quitté cet été. Il était directeur de recherche à INRIA et travaillait principalement dans le domaine de la preuve assistée par ordinateur.

Mais revenons à nos moutons (aux sens propre, comme aux sens figuré) et à la question du dénombrement. Voilà notre propriétaire qui arrive avec ces moutons, les confie au berger, et ils se mettent tous les deux à compter pour se mettre d'accord : O O I I. Il y a deux billes et deux batôns, le troupeau est constitué de 22 têtes. On voit déjà qu'ils ont mis au point un algorithme de compression : avec simplement des batôns, il en aurait fallu 22 (où l'on voit apparaître la bijection entre les têtes de bétails et l'ensemble de bâtons) tandis qu'en remplaçant dix batôns par une bille, il leur suffit de 4 objets pour compter le troupeau : on gagne en espace de stockage. Le système algorithmique est même plus complet que ce couple de dénombrement puis compression, puisqu'ils y ajoutent une signature (sous la forme d'un sceau du propriétaire) ainsi que l'intervention d'un tiers de confiance, en la personne d'un comptable, afin de conserver la bourse scellée contenant billes et bâtons durant toute la durée de la garde.

Maintenant, oublions leur algorithme de compression et, tel un enfant comptant sur ses doigts, limitons nous à l'usage de bâtons. Nous avons là ce que les mathématiciens appellent les entiers unaires. Représentation peu efficace à l'usage, comme l'avait déjà constater les mésopotamiens, mais qui est pourtant la structure de données la plus élémentaire utilisée en informatique : la liste chaînée.

Afin d'illustrer la chose simplement, limitons nous au nombre 5.

│ │ │ │ │

Maintenant, je rajoute une flèche entre chaque bâtons :

│ → │ → │ → │ → │

Et voilà notre liste chaînée : c'est une liste dont chaque cellule comporte un bâton et qui pointe (la flèche) vers un autre cellule, jusqu'à la dernière qui n'a pas de flêche car pointant sur NULL (l'absence, le zéro).

Rien que dans cet exemple simple, déjà pratiqué il y a plus de 5000 ans, on voit illustrer la théorie kantienne du schématisme.

Le schème n’est toujours par lui-même qu’un produit de l’imagination ; mais, comme la synthèse de cette faculté n’a pour but aucune intuition particulière, mais seulement l’unité dans la détermination de la sensibilité, il faut bien distinguer le schème de l’image. Ainsi, quand je place cinq points les uns à la suite des autres ....., c’est là une image du nombre cinq. Au contraire, quand je ne fais que penser un nombre en général, qui peut être ou cinq ou cent, cette pensée est plutôt la représentation d’une méthode servant à représenter en une image, conformément à un certain concept, une quantité (par exemple mille), qu’elle n’est cette image même, chose que, dans le dernier cas, il me serait difficile de parcourir des yeux et de comparer avec mon concept. Or c’est cette représentation d’un procédé général de l’imagination, servant à procurer à un concept son image, que j’appelle le schème de ce concept.

Dans le cas du nombre entier, comme il le dira par la suite :

Le nombre n’est donc autre chose que l’unité de la synthèse que j’opère entre les diverses parties d’une intuition homogène en général, en introduisant le temps lui-même dans l’appréhension de l’intuition.

Ces deux extraits sont à retrouver au chapitre sur le schématisme.

Ainsi, pour obtenir le nombre, il me faut un divers (dans l'espace, ici les bâtons ou les têtes de bétails) que je parcours, dans le temps, pour unifier ce divers en un tout par une activitée de synthèse (la liaison de la liste) qui produit le nombre. Et si je pense à un nombre en général, non un nombre en particulier comme 5 dans notre cas, alors j'ai plus en pensée un procédé de construction, procédé que Kant appelle le schème du concept. Raison pour laquelle Kant définira la mathématique comme la connaissance rationnelle par le construction de concepts. En mathématique, nous construisons des structures de données dans l'espace et le temps, le procédé n'étant pas limité au cas du nombre entier, bien que soit dans celui-ci qu'il est le plus simplement compréhensible (et qui fut le premier historiquement parlant).

J'espère avoir faire comprendre ce que je voulais dire par la nécessité de l'espace et du temps pour construire des objets mathématiquement. Comme je m'étais engagé à traiter du lien entre la syntaxe et la sémantique du langage (le lien entre ⊢ et ⊨), je vais m'y essayer maintenant. Pour ceux qui ne sont pas au courant du début des échanges, cela fait suite à une autre discussion avec Pierre-Matthieu et mahikeulbody déjà au sujet du problème de l'unification de la relativité générale et de la physique quantique.

Lorsqu'un logicien utilise un symbole du type A ⊢ B, il veut dire par là que sous l'hypothèse A, on peut prouver B, ou que B est une thèse de la théorie ayant A pour principe. Dans l'usage du symbole ⊢, il ne s'agit que d'une manipulation purement formelle et syntaxique des propositions selon certaines règles que l'on appelle règle de déductions (ou règles d'inférence), règle par lesquelles on étudie le rapport de consécution entre jugements.

Maintenant, lorsqu'un logiciel utilise une expression du type M ⊨ P, il veut dire que la proposition P est satisfaite par l'objet M, ou que P est vrai pour M, ou que M est un modèle de P. Ici on ne considère plus nos jugements dans leur rapport respcetifs, mais dans leur rapport avec le monde des objets (construits dans l'espace et le temps).

Un exemple simple pour mettre les choses au clair, étudions le cas de la disjonctions le ou. Dans les régles de déduction, je vais en considérer deux celle qui introduit les jugements hypothétiques (si A alors B) et celles qui introduit les jugements disjonctifs (le ou) :

• de A ⊢ B on peut déduire ⊢ si A alors B ;
• de Env ⊢ P on peut déduire Env ⊢ P ou Q (où Env est un ensemble de propositions, et Q une proposition quelconque) ;
• on peut déduire toute proposition d'elle-même A ⊢ A

Partant des ces règles, dont leur usage ne relève que d'un simple jeu syntaxique, on peut prouver, sans hypothèse ⊢ si P alors (P ou Q). C'est là une magnifique tautologie, on appelle d'ailleurs tautologie ce qui peut se prouver sans hyptohèse (la partie à gauche du taquet ⊢ est vide). La preuve est comme suit :

de P je peux poser P, P ⊢ P, j'applique la seconde règle (où Env vaut P) ce qui donner P ⊢ P ou Q puis je finis avec la première règle ⊢ si P alors (P ou Q).

Voilà ce qui se passe quand on fait une démonstration. En revanche, lorsque l'on calcule des tables de vérités (avec des booléens true et false), alors on fait de la sémantique, on utilise le ⊨. Un solveur SAT cherche si un proposition P qu'on lui donne en entrée admet un modèle, c'est-à-dire des valuations booléennes de toutes les variables constitutant P telles que M ⊨ P où M est l'ensemble des valuations booléennes.

Les contraintes que l'on veut sur notre système de règles déduction sont celles-ci :

• si on peut y prouver un proposition sans hyptohèse, alors elle doit être une tautologie sémantique (vrai pour toutes valuations booléennes) ;
• réciproquement, si on a une tautologie sémantique, alors elle doit être prouvable.

On dit alors que notre système est déductivement complet, c'est cela que Gödel à prouver sous le nom de théorème de complétude : il prouve tout ce que l'on peut prouver. Ce faisant il a écrit le premier desassembleur interactif de l'histoire par cette preuve (si l'on interpète via Curry-Howard la preuve de ce théorème, c'est un desassembleur).

Ce théorème est de la plus grande importance pour le seconde théorème qui suivit : le théorème d'incomplétude. Maintenant, si au lieu de prendre des tautologies, on s'intéresse à ce que l'on peut prouver dans une théorie donnée, disons celles des entiers unaires dont on parlait tout au début. On parle alors de l'arithémtique de Péano (une théorie axiomatique qui décrit les règles de constructions des entiers unaires). Gödel a alors montré que cette théorie contient des énoncés (que l'on peut exprimer dans son langage) qu'elle ne peut ni démontrer ni réfuter, à commencer par sa propre cohérence. Et ce résultat, grâce au théorème de complétude précédent, n'est pas du à un défaut de déductions des règles de preuves (elles sont complètes) mais à une incomplétude de la théorie : elle ne peut décider de toutes les questions qu'elle pose.

Je ne peux m'empêcher, à nouveau, de citer un passage de la Critique de la raison pure :

Qu’est-ce que la vérité ? C’est avec cette vieille et fameuse question que l’on pensait pousser à bout les logiciens, et que l’on cherchait à les prendre en flagrant délit de verbiage ou à leur faire avouer leur ignorance, et par conséquent la vanité de tout leur art. La définition de nom qui consiste à dire que la vérité est l’accord de la connaissance avec son objet, est ici admise et supposée ; mais on veut savoir quel est le critérium général et certain de la vérité de toute connaissance.

C’est déjà une grande et infaillible preuve de sagesse et de lumières que de savoir ce que l’on peut raisonnablement demander. En effet, si la question est absurde en soi et si elle appelle des réponses oiseuses, non-seulement elle couvre de honte celui qui la fait, mais elle a aussi parfois l’inconvénient de jeter dans l’absurdité lui qui y répond sans y prendre garde, et de présenter ainsi le ridicule spectacle de deux personnes, dont l’une trait le bouc (comme disaient les anciens), tandis que l’autre tient le baquet.

Si la vérité consiste dans l’accord d’une connaissance avec son objet, cet objet doit être par-là même distingué de tout autre ; car une connaissance contînt-elle d’ailleurs des idées applicables à un autre objet, elle est fausse quand elle ne s’accorde pas avec celui auquel elle se rapporte. D’un autre côté, un critérium universel de la vérité devrait être bon pour toutes les connaissances, sans distinction de leurs objets. Mais, puisqu’on y ferait abstraction de tout contenu de la connaissance (de son rapport à son objet), et que la vérité porte justement sur ce contenu, il est clair qu’il est tout à fait impossible et absurde de demander une marque distinctive de la vérité de ce contenu des connaissances, et qu’on ne saurait trouver un signe suffisant à la fois et universel de la vérité. Et, comme le contenu d’une connaissance a été nommé plus haut la matière de cette connaissance, il est juste de dire qu’il n’y a point de critérium universel à chercher pour la vérité de la connaissance de la matière, puisque cela est contradictoire en soi.

Alors juste deux remarques : ce que Kant appelle définition nominale de la vérité (accord de la connaissance avec son objet) est exactement ce que les logiciens entendent par l'usage du symbole ⊨, ensuite l'absence de critère universel de la vérité car c'est contradicroire en soi, c'est ce que prouve le théorème d'incomplétude de Gödel. Bon, celui de Gödel est plus spécifique que la remarque de Kant. Kant traite le cas d'un critère qui vaudrait pour tout objet et toute théorie, là où Gödel a montré que même en se restraignant à la théorie arithmétique, un tel critère ne pouvait exister.

Je voudrais aussi terminer sur la question : à quoi ressemble un modèle de l'arithmétique ? Pour cela, on va d'abord traiter d'un modèle de la théorie des ordres. Une relation d'ordre c'est, intuitivment, ce que l'on pense derrière le symbole <. Un modèle d'une telle théorie est par exemple cette image :

A < B < C

C'est la donné de trois objets (ici A, B et C) ainsi que d'une relation entrer eux qui doit satisafaire aux axiomes de la théorie : c'est un graphe orienté (A , B et C en sont les noeuds, la relation étant caractérisée par les arêtes du graphe). On peut voir par exemple que cette théorie aussi est incompléte : la proposition il existe un plus grand élément n'est ni prouvable, ni réfutable. En effet, le modèle avec mes trois objets satisfait cette proposition, C étant un plus grand élément (il y a accord entre la proposition et l'objet) tandis que si je prend pour modèle les entiers naturels, il n'y a pas de plus grand élément. Or si la proposition était prouvable, elle devrait être vraie dans tout modèle (d'après le théorème de complétude), ce qui n'est pas le cas.

Maintenant, un modèle de l'arithmétique est aussi un graphe orienté : celui qui contient toutes les listes chaînées sans cycle:

│ ← │ ← │ ← │ ← │ ← ...

Cantor appelait cela un ordinal infini.

Une petite remarque en passant sur les entiers binaires : on peut les voir comme des chemins dans un arbre binaire équilibré (qui est aussi un graphe).

 ●くろまる
 ╱ ╲
 ●くろまる ●くろまる
 ╱ ╲ ╱ ╲
 ●くろまる ●くろまる ●くろまる ●くろまる

Ici, au feuille du bas on a les 4 nombres sur 2 bits. Si partant de la racine on fait gauche-droite (01) on tombe sur 1, et droite-gauche (10) on tombe sur deux. Maintenant en considérant l'arbre infini, on a un équivalent de l'ordinal des listes chaînées. À chaque étage, on a une liste finie, qui grandit exponentiellement par rapport à la hauteur de l'arbre ou reciproquement la hauteur est logarithmique en la taille de la liste. On a l'algorithme de compression de nos mésopotamiens, mais eux ils ont dix branches à chaque étage (la base dix).

Pour finir, rapidement, sur une question de mahikeulbody sur les postulats et les axiomes en physique quantique. L'interprétation probabiliste des vecteurs d'états lors d'une mesure, concerne la sémantique du système, le passage des propositions au monde physique, c'est-à-dire le ⊨. Pour de la lecture en rapport avec toute cette discussion : Bohr's complementarity and Kant's epistemology.

P.S : désolé pour le pavé, et les typos qu'il doit y avoir dans mon texte (la flemme de la relecture).

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.