Re: Alerte crackpots

Quand on écoute les collègues cosmologistes, ils vous disent qu'il n'est pas exclu que ~95% (estimation au doigt mouillée évidemment) de la nature de l'univers échappe actuellement à notre connaissance — les hypothétiques matières noires et énergies noires. Moi qui ait souvent du mal à résoudre un casse-tête que je puisse connaître entièrement, je conçois mal la niveau d'hubris qu'il faudrait avoir, pour prétendre décider du niveau de connaissance impliqué par le titre à partir de si peu (~5%).

J'ai recherché le texte de Kant sur les limites de la connaissance humaine. Je le cite pour la clarté avec laquelle il expose le problème :

La conscience de mon ignorance (si cette ignorance n’est en même temps reconnue comme nécessaire), au lieu de terminer toutes mes recherches, est au contraire la véritable cause qui les provoque. Toute ignorance porte ou bien sur les choses, ou bien sur la détermination et les bornes de ma connaissance. Or, quand l’ignorance est accidentelle, elle doit me pousser, dans le premier cas, à soumettre les choses (les objets) à une investigation dogmatique, et, dans le second, à rechercher, au point de vue critique, les limites de ma connaissance possible. Mais que mon ignorance soit absolument nécessaire, et que par conséquent elle me dispense de toute recherche ultérieure, c’est ce que l’on ne peut prouver empiriquement par l’observation, mais seulement d’une manière critique, en sondant les sources premières de notre connaissance. La détermination des limites de notre raison ne peut donc se faire que suivant des principes à priori, mais nous pouvons connaître aussi à posteriori qu’elle est bornée, en remarquant ce qui, dans toute science, nous reste encore à savoir, bien que cette connaissance d’une ignorance à jamais invincible soit encore indéterminée pour nous. La première connaissance de l’ignorance de la raison, que peut seule nous donner la critique de la raison même, est donc une science ; mais la seconde connaissance n’est qu’une perception, aux suites de laquelle je ne puis assigner des limites. Quand je me représente (suivant l’apparence sensible) la surface de la terre comme un plateau rond, je ne puis savoir jusqu’où elle s’étend. Mais l’expérience m’apprend que, où que j’aille, je vois toujours devant moi un espace où je puis continuer de m’avancer, et je reconnais ainsi les bornes de ma connaissance réelle de la terre, mais non pas celles de toute description possible de la terre. Que si j’en suis venu au point de savoir que la terre est un globe et que sa surface est sphérique, je puis alors connaître d’une manière déterminée et suivant des principes à priori, même par une petite partie de cette surface, un degré par exemple, le diamètre de la terre, et, par ce diamètre, la complète circonscription de la terre, c’est-à-dire sa surface entière ; et, bien que je sois ignorant par rapport aux objets que cette surface peut contenir, je ne le suis pas quant à la circonscription qui les contient, à son étendue et à ses limites.

Kant, Critique de la Raison Pure.

Comme c'est un problématique de ce genre que traite les auteurs :

Mais que mon ignorance soit absolument nécessaire, et que par conséquent elle me dispense de toute recherche ultérieure, c’est ce que l’on ne peut prouver empiriquement par l’observation, mais seulement d’une manière critique, en sondant les sources premières de notre connaissance.

afin de répondre par la négative au sixième problème de Hilbert, il n'ont pas grand choix sur la méthode. Je ne connais que trois résultats utilisables en la matière :

• l'incomplétude de Gödel (limites de la déduction)
• le problème de l'arrêt de Turing (limites du calcul)
• la critique kantienne (limites de la raison théorique dans son usage philosophique)

Vu la question (existence d'un système axiomatique), il n'ont pas d'autres choix que de passer par l'incomplétude de Gödel. Il l'utilise correctement en l'appliquant à un système adéquate aux hypothèses du théorème (contrairement à Régis Debray. Mais une fois obtenue l'incomplétude déductive du système, le reste de l'argumentaire devient de plus en plus douteux.

D'ailleurs, les mathématiciens (toujours dans le cadre du programme de Hilbert) ont eux aussi cherché un système axiomatique unique dans lequel toutes les mathématiques connues pourraient se formaliser (un anneau pour les gouverner tous ;-). Rien ne disait que c'était faisable, et ce fût fait sous la forme de la théorie axiomatique des ensembles ZF. Elles est bien entendue incomplète, car soumise au théorème d'incomplétude, mais cela n'a jamais perturbé personne. On n'a nullement invoqué je ne sais quel entendement non algorithmique en conséquence. Bien au contraire, cela a ouvert un champ de recherche luxuriant : quels sont les énoncés ayant un sens mathématique important qui sont indécidables dans ZF ? On a au choix : toutes les formes de l'axiome du choix, l'hypothèse du continue de Cantor, l'existence ou non de partie des réels non mesurables au sens de Lebesgue, les axiomes sur les grands ordinaux... Cela a donné des résultats, dits de consistance relative, analogues à ceux obtenus par Poincaré sur la consistance relative des différentes géométries (euclidienne, hyperbolique et sphérique). Et toutes ces mathématiques sont algorithmiques de part en part, du moins on a pour l'instant ZF + Choix dépendant en logique classique interprété comme programmes via Curry-Howard, et ce système est suffisant pour développer tout l'outillage conceptuel actuellement utilisé par les physiciens théoriciens.

Et malgré cela, certains continuent, à bon droit, de chercher des théories concurrentes à ZF, à commencer par la théorie homotopique des types (HoTT) ou celle spéculative du sujet de thèse de Jeanas.

Après, que l'entendement humain soit non algorithmique, je n'en doute pas une seconde. Mais c'est parce qu'il ne sert pas qu'à faire des mathématiques, il sert aussi à philosopher. L'usage mathématique est algorithmique, pas son usage philosophique. Ça c'est Kant qui l'a prouvé.

Les mathématiques donnent le plus éclatant exemple d’une heureuse extension de la raison pure par elle-même et sans le secours de l’expérience. Les exemples sont contagieux, surtout pour cette faculté, qui se flatte naturellement d’avoir toujours le même bonheur qu’elle a eu dans un cas particulier. Aussi la raison pure espère-t-elle pouvoir s’étendre, dans son usage transcendental, avec autant de bonheur et de solidité qu’elle l’a fait dans son usage mathématique, surtout en appliquant ici cette même méthode qui lui a été là d’une si évidente utilité. Il nous importe donc beaucoup de savoir si la méthode qui conduit à la certitude apodictique, et que dans cette dernière science on appelle mathématique, est identique à celle qui sert à chercher cette même certitude dans la philosophie et qui y devrait être appelée dogmatique.

La connaissance philosophique est la connaissance rationnelle par concepts, et la connaissance mathématique la connaissance rationnelle par construction des concepts. Construire un concept, c’est représenter à priori l’intuition qui lui correspond. La construction d’un concept exige donc une intuition non empirique, qui par conséquent, comme intuition, soit un objet singulier, mais qui n’en exprime pas moins, comme construction d’un concept (d’une représentation générale), quelque chose d’universel qui s’applique à toutes les intuitions possibles appartenant au même concept. Ainsi je construis un triangle en représentant l’objet correspondant à ce concept soit par la simple imagination dans l’intuition pure, soit même, d’après celle-ci, sur le papier dans l’intuition empirique, mais dans les deux cas tout à fait à priori, sans en avoir tiré le modèle de quelque expérience. La figure particulière ici décrite est empirique, et pourtant elle sert à exprimer le concept sans nuire à son universalité, parce que, dans cette intuition empirique, on ne songe jamais qu’à l’acte de la construction du concept, auquel beaucoup de déterminations sont tout à fait indifférentes, comme celles de la grandeur, des côtés et des angles, et que l’on fait abstraction de ces différences qui ne changent pas le concept du triangle.

La connaissance philosophique considère le particulier uniquement dans le général, et la connaissance mathématique le général dans le particulier, même dans le singulier, mais à priori et au moyen de la raison, de telle sorte que, comme ce singulier est déterminé d’après certaines conditions générales de la construction, de même l’objet du concept auquel ce singulier ne correspond que comme son schème doit être conçu comme universellement déterminé. [...]

Puisque nous nous sommes fait un devoir de déterminer exactement et avec certitude les limites de la raison pure dans l’usage transcendental, mais que cette faculté a ceci de particulier que, malgré les avertissements les plus pressants et les plus clairs, elle se laisse leurrer par l’espoir de parvenir, par de là les limites des expériences, dans les attrayantes contrées de l’intellectuel, il est nécessaire de lui enlever encore en quelque sorte la dernière ancre d’une espérance fantastique, en lui montrant que l’application de la méthode mathématique dans cette espèce de connaissance ne peut lui procurer le moindre avantage, si ce n’est peut-être celui de lui découvrir plus clairement ses propres défauts ; que la géométrie et la philosophie sont deux choses tout à fait différentes, bien qu’elles se donnent la main dans la science de la nature, et que par conséquent les procédés de l’une ne peuvent jamais être imités par l’autre.

La solidité des mathématiques repose sur des définitions, des axiomes et des démonstrations. Je me contenterai de montrer qu’aucun de ces éléments ne peut être ni fourni ni imité par la philosophie dans le sens où le mathématicien le prend ; que le géomètre, en transportant sa méthode, dans la philosophie, ne construit que des châteaux de cartes ; que le philosophe, en appliquant la sienne aux mathématiques, ne peut faire que du verbiage ; ce qui n’empêche pas que le rôle de la philosophie dans cette science ne soit d’en reconnaître les limites, et que le mathématicien lui-même, quand son talent n’est pas déjà circonscrit par la nature et restreint à sa sphère, ne soit obligé de tenir compte des avertissements de la philosophie et de ne pas se mettre au-dessus d’eux.

Kant, Critique de la Raison Pure

Et la physique a tout autant besoin de la philosophie que des mathématiques pour justifier ses premiers principes, à commencer par le principe de causalité, et pour se faire elle ne peut emprunter la méthode algorithmique des mathématiques.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.