D'habitude, on définit une variété comme étant un ensemble avec des cartes provenant d'ouverts de \mathbb{R}^n.
Or on définit quand même souvent des variétés avec des cartes ne provenant pas de \mathbb{R}^n. Par exemple lorsqu'on travaille sur des sous-groupes de Lie, on prend souvent la carte exponentielle provenant de l'algèbre de Lie.
On résout cette difficulté en prenant des coordonnées dans l'algèbre de Lie. Tous les choix de coordonnées mènent au même atlas maximal (dans la terminologie de Lafontaine) donc à la même structure différentielle — donc on peut se contenter de définir les cartes en utilisant l'espace vectoriel qu'on veut.
Autrement tu peux aussi dire que tu vois ton espace vectoriel préféré E comme une variété différentielle (avec la définition en \mathbb{R}^n) et que tu transportes la structure sur ton objet d'étude X grâce aux "cartes" \phi_i: U_i \to E (U_i ouvert de X). Ça marche aussi si tu veux changer d'espace vectoriel pour chaque carte.
Bien que je sois un psychorigide sur les abus de notations, [...]
Il me semble que tu as un prédécesseur, Arnaudiès dont les cours de maths sont très pointilleux sur les notations — probablement pour être d'une grande clarté pour les débutants.
Questions sur l'intégration des formes différentielles
C'est ce qui te permet de permuter tes intégrales et tes sommes. C'est peut-être plus facile de passer par une construction intermédiaire en disant que:
Tu intègres tes formes par rapport à une partition de l'unité
Étant données deux partitions de l'unité (U_i, \rho_i) et (V_j, \sigma_j) tu déduis une nouvelle partition de l'unité (U_i\cap V_j, \rho_i\sigma_j) et tu démontres que ta définition donne le même résultat pour ces trois partitions de l'unité
Tu conclus que ta définition ne dépend finalement pas de la partition de l'unité choisie.
# Sur la géométrie différentielle
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse à la dépêche Y a le Frido 2024 qu'est là. Évalué à 3.
On résout cette difficulté en prenant des coordonnées dans l'algèbre de Lie. Tous les choix de coordonnées mènent au même atlas maximal (dans la terminologie de Lafontaine) donc à la même structure différentielle — donc on peut se contenter de définir les cartes en utilisant l'espace vectoriel qu'on veut.
Autrement tu peux aussi dire que tu vois ton espace vectoriel préféré E comme une variété différentielle (avec la définition en \mathbb{R}^n) et que tu transportes la structure sur ton objet d'étude X grâce aux "cartes" \phi_i: U_i \to E (U_i ouvert de X). Ça marche aussi si tu veux changer d'espace vectoriel pour chaque carte.
Il me semble que tu as un prédécesseur, Arnaudiès dont les cours de maths sont très pointilleux sur les notations — probablement pour être d'une grande clarté pour les débutants.
Pour tes questions d'intégration, on travaille normalement avec de partitions de l'unité qui sont localement finies, comme dans la fiche Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_de_l%27unité
C'est ce qui te permet de permuter tes intégrales et tes sommes. C'est peut-être plus facile de passer par une construction intermédiaire en disant que: