C'est aussi le cardinal du classificateur de sous-objet de la catégorie des ensembles (et de beaucoup d'autres catégories concrètes usuelles, comme les espaces topologiques, d'ailleurs je ne sais pas s'il y a une CNS intéressante pour ça).
Rectification : j'ai dit des bêtises sur les espaces topologiques. On vérifie que les monomorphismes sont les applications continues injectives. Mais du coup, il y a plein de monomorphismes qui ne sont pas des inclusions de sous-espace. Par exemple, l'identité sur {0, 1} si on met la topologie discrète au départ et triviale à l'arrivée.
Alors que les fonctions (automatiquement continues) vers {0, 1} avec la topologie triviale correspondent aux sous-ensembles, donc ce que j'avais en tête ne marche pas du tout. En fait, les inclusions de sous-espace topologique sont exactement les monos réguliers, et dans une catégorie qui a un classificateur de sous-objet, tous les monos sont réguliers, donc la catégorie des espaces topologiques n'a pas de classificateur de sous-objet du tout.
[^] # Re: Constante de Weiner
Posté par jeanas (site web personnel, Mastodon) . En réponse à la dépêche Y a le Frido 2024 qu'est là. Évalué à 2.
Rectification : j'ai dit des bêtises sur les espaces topologiques. On vérifie que les monomorphismes sont les applications continues injectives. Mais du coup, il y a plein de monomorphismes qui ne sont pas des inclusions de sous-espace. Par exemple, l'identité sur {0, 1} si on met la topologie discrète au départ et triviale à l'arrivée.
Alors que les fonctions (automatiquement continues) vers {0, 1} avec la topologie triviale correspondent aux sous-ensembles, donc ce que j'avais en tête ne marche pas du tout. En fait, les inclusions de sous-espace topologique sont exactement les monos réguliers, et dans une catégorie qui a un classificateur de sous-objet, tous les monos sont réguliers, donc la catégorie des espaces topologiques n'a pas de classificateur de sous-objet du tout.