Je suis d'accord que, dans le contexte, on s'attend à ce que \sqrt{2}^2=2. Mais il n'empêche que j'ai bien le droit de mettre la structure que je veux sur l'ensemble
Après tout, \mathbb{Q} est un ensemble de classes d'équivalences de paires d'entiers tandis que \sqrt{2} est une classe d'équivalence de suites de Cauchy dans \mathbb{Q}.
Je suis déjà gentil d'écrire a+b\sqrt{2}. Je devrais écrire (a,b).
Alors, certes, mettre la structure de corps qui fait \sqrt{2}^2=3 est un sale coup, parce que DANS CE CAS-CI, on est tacitement d'accord de prendre la structure héritée de \mathbb{C}.
Mais qu'est-ce qui me garantit qu'il n'y a en général pas d'ambiguïtés ?
Soit un corps \mathbb{K} et un sur-corps \mathbb{L}_1 contenant un élément a.
Qui me garantit qu'il n'y a pas un autre sur-corps \mathbb{L}_2 contenant également l'élément a ?
En tout cas, la notation \mathbb{K}[a] n'a de sens que si on est tacitement d'accord sur un sur-corps de \mathbb{K} contenant a. C'est tout mon point.
[^] # Re: Extensions de corps
Posté par LaurentClaessens (site web personnel) . En réponse à la dépêche Y a le Frido 2024 qu'est là. Évalué à 3.
Je suis d'accord que, dans le contexte, on s'attend à ce que \sqrt{2}^2=2. Mais il n'empêche que j'ai bien le droit de mettre la structure que je veux sur l'ensemble
Après tout, \mathbb{Q} est un ensemble de classes d'équivalences de paires d'entiers tandis que \sqrt{2} est une classe d'équivalence de suites de Cauchy dans \mathbb{Q}.
Je suis déjà gentil d'écrire a+b\sqrt{2}. Je devrais écrire (a,b).
Alors, certes, mettre la structure de corps qui fait \sqrt{2}^2=3 est un sale coup, parce que DANS CE CAS-CI, on est tacitement d'accord de prendre la structure héritée de \mathbb{C}.
Mais qu'est-ce qui me garantit qu'il n'y a en général pas d'ambiguïtés ?
Soit un corps \mathbb{K} et un sur-corps \mathbb{L}_1 contenant un élément a.
Qui me garantit qu'il n'y a pas un autre sur-corps \mathbb{L}_2 contenant également l'élément a ?
En tout cas, la notation \mathbb{K}[a] n'a de sens que si on est tacitement d'accord sur un sur-corps de \mathbb{K} contenant a. C'est tout mon point.