Si on veut modéliser un pile ou face, on dit «soit une variable aléatoire valant pile ou face avec probabilité 1/2». C'est un raccourcis pour dire qu'on considère :
un ensemble \Omega contenant un nombre pair d'éléments
une application sur \Omega valant "pile" sur la moitié de \Omega et "face" sur l'autre moitié.
Pour modéliser deux pile ou face, on dit «soient deux variables aléatoires indépendantes qui valent pile ou face avec probabilité 1/2». Sous-entendu :
un ensemble \Omega contenant un nombre d'éléments divisible par 4
une fonction sur \Omega valant (pile, pile) sur un quart de \Omega, valant (pile, face) sur un quart, (face, pile) sur un quart et (face, face) sur le dernier quart.
Le problème est quand l'énoncé d'une théorème dit «soit X un pile ou face (sans préciser quel \Omega) et bla bla bla»
Si en cours de démonstration on dit «Soit Y un autre pile ou face indépendant de X», alors on est fautif. Parce que si X est en fait défini sur \{1,2,3,4,5,6\} (nombre pair d'éléments, mais pas divisible par 4), on ne peut pas y mettre un deuxième "pile ou face".
La façon rigoureuse d'introduire Y serait de prendre une nouvelle variable aléatoire X' définie sur \Omega\times \{1,2\} (c'est à dire qu'on duplique X : une fois pour Y=pile et une fois pour Y=face).
À partir de ce moment, on n'est plus en train de démontrer des choses sur le X de l'énoncé, mais sur le X' qui est une extension.
[^] # Re: Bravo !
Posté par LaurentClaessens (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido : livre libre de mathématique pour l’agrégation et plus. Évalué à 4.
Si on veut modéliser un pile ou face, on dit «soit une variable aléatoire valant pile ou face avec probabilité 1/2». C'est un raccourcis pour dire qu'on considère :
Pour modéliser deux pile ou face, on dit «soient deux variables aléatoires indépendantes qui valent pile ou face avec probabilité 1/2». Sous-entendu :
Le problème est quand l'énoncé d'une théorème dit «soit X un pile ou face (sans préciser quel \Omega) et bla bla bla»
Si en cours de démonstration on dit «Soit Y un autre pile ou face indépendant de X», alors on est fautif. Parce que si X est en fait défini sur \{1,2,3,4,5,6\} (nombre pair d'éléments, mais pas divisible par 4), on ne peut pas y mettre un deuxième "pile ou face".
La façon rigoureuse d'introduire Y serait de prendre une nouvelle variable aléatoire X' définie sur \Omega\times \{1,2\} (c'est à dire qu'on duplique X : une fois pour Y=pile et une fois pour Y=face).
À partir de ce moment, on n'est plus en train de démontrer des choses sur le X de l'énoncé, mais sur le X' qui est une extension.