Ce qui conditionne le temps de remplissage de la baignoire, c’est le débit au robinet, qui peut être considéré constant pour une ouverture de robinet donnée (la pression dans le réseau d’eau ne varie pas). À l’inverse, plus il y a d’eau dans la baignoire, plus la pression est élevée au niveau de la bonde (tu sens la pression dans tes oreilles si tu plonges la tête au fond de la baignoire).
Ensuite un modèle simple mais assez juste dans le cas de la vidange d’une baignoire, c’est que le débit de vidange est proportionnel à la racine carrée de la pression au fond de la baignoire, donc moins il y a d’eau, plus le débit est faible. La baignoire se vide donc à une vitesse beaucoup plus élevée quand elle est pleine que quand elle est presque vide.
Des équations !
Soit S la surface de la baignoire vue du dessus, la vitesse de remplissage est alors constante, proportionnelle au débit du robinet Q :
Mais la vitesse de vidange, elle varie avec la hauteur d’eau h :
avec g l‘accélération de la pesanteur (9,81 m/s) et k un coefficient sans unité et à peu près constant dans un problème comme celui-ci mais sa valeur dépend beaucoup de la géométrie et du diamètre de la bonde.
La variation de la hauteur d’eau dans la baignoire est donc régie par l’équation différentielle suivante si le robinet et la bonde sont tous deux ouverts :
qui est donc la hauteur pour laquelle s’équilibrent les vitesses de remplissage et de vidange. La baignoire ne se videra donc jamais complètement, mais ne débordera pas non plus si cette hauteur est inférieure à celle du bord de la baignoire par rapport à son fond.
Au delà de considérations écologiques qui rendent l’exercice problématique, ma réponse ne permet pas d’aller plus loin. En effet, le modèle de vidange que j’ai présenté tend vers une vitesse nulle quand la baignoire est presque vide, donc selon ce modèle elle ne se vide jamais. En effet, pour une baignoire presque vide mon modèle à k constant est inadapté, il n’est donc pas possible de l’utiliser pour comparer sa solution temporelle aux douze minutes données en énoncé. On pourrait déduire k de ces douze minutes si l’on considère que la baignoire est vide lorsqu’il reste moins d’un demi centimètre d’eau par exemple. Mais comme ici on parlait de mathématiques, on ne va pas commencer à adopter un raisonnement de physicien qui s’attaque à un problème réel.
[^] # Re: Je préfère les énoncés simples mais hyper compliqués à résoudre
Posté par jyes . En réponse au journal Deux petits problèmes de math niveau lycée.. Évalué à 3. Dernière modification le 22 juillet 2021 à 15:20.
Ce qui conditionne le temps de remplissage de la baignoire, c’est le débit au robinet, qui peut être considéré constant pour une ouverture de robinet donnée (la pression dans le réseau d’eau ne varie pas). À l’inverse, plus il y a d’eau dans la baignoire, plus la pression est élevée au niveau de la bonde (tu sens la pression dans tes oreilles si tu plonges la tête au fond de la baignoire).
Ensuite un modèle simple mais assez juste dans le cas de la vidange d’une baignoire, c’est que le débit de vidange est proportionnel à la racine carrée de la pression au fond de la baignoire, donc moins il y a d’eau, plus le débit est faible. La baignoire se vide donc à une vitesse beaucoup plus élevée quand elle est pleine que quand elle est presque vide.
Des équations !
Soit S la surface de la baignoire vue du dessus, la vitesse de remplissage est alors constante, proportionnelle au débit du robinet Q :
Mais la vitesse de vidange, elle varie avec la hauteur d’eau h :
avec g l‘accélération de la pesanteur (9,81 m/s) et k un coefficient sans unité et à peu près constant dans un problème comme celui-ci mais sa valeur dépend beaucoup de la géométrie et du diamètre de la bonde.
La variation de la hauteur d’eau dans la baignoire est donc régie par l’équation différentielle suivante si le robinet et la bonde sont tous deux ouverts :
Si l’on regarde la solution de
on trouve
qui est donc la hauteur pour laquelle s’équilibrent les vitesses de remplissage et de vidange. La baignoire ne se videra donc jamais complètement, mais ne débordera pas non plus si cette hauteur est inférieure à celle du bord de la baignoire par rapport à son fond.
Au delà de considérations écologiques qui rendent l’exercice problématique, ma réponse ne permet pas d’aller plus loin. En effet, le modèle de vidange que j’ai présenté tend vers une vitesse nulle quand la baignoire est presque vide, donc selon ce modèle elle ne se vide jamais. En effet, pour une baignoire presque vide mon modèle à k constant est inadapté, il n’est donc pas possible de l’utiliser pour comparer sa solution temporelle aux douze minutes données en énoncé. On pourrait déduire k de ces douze minutes si l’on considère que la baignoire est vide lorsqu’il reste moins d’un demi centimètre d’eau par exemple. Mais comme ici on parlait de mathématiques, on ne va pas commencer à adopter un raisonnement de physicien qui s’attaque à un problème réel.