Je vais donner mon point de vue de thésard en analyse. Je préfère la définition "pointée", un peu par habitude (c'est la définition de la prépa), mais aussi parce qu'en fait, ce n'est pas important (pour un chercheur).
Si on prend une fonction f:E\to F et x\in \overline{E},
- la définition "épointée" de "f a une limite en x$ est en fait un cas particulier de la définition "pointée" : il suffit de restreindre le domaine de f à E\setminus\{x\} et on retrouve la définition "épointée". Dans l'autre sens, il faut faire des circonlocutions.
- dans un article, il est de toute façon préférable d'être le plus clair possible. En particulier, si f est continue en x, j'écrirais "f est continue en x" et pas "f admet une limite en x", même si c'est la même chose avec ma définition. Inversement, si f n'est pas continue mais admet une limite "épointée", je le préciserais d'une manière ou d'une autre, probablement en disant \lim_{x'\to x,x'\neq x} f(x') =\cdots.
- de manière générale, je n'ai pas rencontré dans ma recherche de situation où cette distinction avait une importance. Mais peut-être est-ce parce que je suis dans un domaine où ces questions n'apparaissent pas, et que la situation est différente dans d'autres domaines ? Si on me donne un article où ceci est important, je peux changer d'avis. Mais en attendant, je considèrerais que la définition "française" est tout aussi bonne que la définition "épointée".
Dit autrement, en recherche, de ce que j'ai pu voir, cette question n'a pas d'importance. Et comme la définition "pointée" en plus générale en jouant avec le domaine de départ, je la préfère. Un aspect qui pourrait me faire pencher pour une définition ou une autre est d'ordre pédagogique pendant mes enseignements : quelle est la définition avec laquelle les élèves s'en sortent le mieux ? Je serais intéressé par des études pédagogiques sur ce sujet, qui compare les performances des élèves dans les deux cas. Y en-a-t-il ? Lors de mes recherches (sur Google, pas mes recherches en maths) je n'en ai pas trouvé. Mais je ne suis pas un bon chercheur, alors... (recherche sur Google, pas mes recherches en maths, enfin je crois).
On pourrait aussi invoquer des raisons foireuses à base d'esthétique : la définition "pointée" me semble plus naturelle à définir, surtout dans les espaces topologiques où les voisinages épointés ne sont pas des objets naturels. Mais je suis assez lucide pour me rendre compte que c'est certainement une rationalisation de mon habitude, et pas un argument sérieux.
PS 1 : de toute façon, la seule vraie façon de parler de limite, c'est les filtres (ou les suites généralisées pour les personnes qui n'aiment pas l'abstraction). Quelqu'un de motivé pour enseigner ça en L1 ?
PS 2 : désolé de t'avoir laissé en plan pour les problèmes de topologie des fonctions tests. Après avoir échoué à compiler, ça m'a découragé, puis je me suis retrouvé dans le rush de fin de thèse. Qui sait, peut-être que je reviendrais dessus après ma soutenance ?
[^] # Re: Limite en un point
Posté par danarmk . En réponse à la dépêche Le Frido, livre collaboratif de mathématique de niveau agrégation et un peu plus. Évalué à 2.
Je vais donner mon point de vue de thésard en analyse. Je préfère la définition "pointée", un peu par habitude (c'est la définition de la prépa), mais aussi parce qu'en fait, ce n'est pas important (pour un chercheur).
Si on prend une fonction f:E\to F et x\in \overline{E},
- la définition "épointée" de "f a une limite en x$ est en fait un cas particulier de la définition "pointée" : il suffit de restreindre le domaine de f à E\setminus\{x\} et on retrouve la définition "épointée". Dans l'autre sens, il faut faire des circonlocutions.
- dans un article, il est de toute façon préférable d'être le plus clair possible. En particulier, si f est continue en x, j'écrirais "f est continue en x" et pas "f admet une limite en x", même si c'est la même chose avec ma définition. Inversement, si f n'est pas continue mais admet une limite "épointée", je le préciserais d'une manière ou d'une autre, probablement en disant \lim_{x'\to x,x'\neq x} f(x') =\cdots.
- de manière générale, je n'ai pas rencontré dans ma recherche de situation où cette distinction avait une importance. Mais peut-être est-ce parce que je suis dans un domaine où ces questions n'apparaissent pas, et que la situation est différente dans d'autres domaines ? Si on me donne un article où ceci est important, je peux changer d'avis. Mais en attendant, je considèrerais que la définition "française" est tout aussi bonne que la définition "épointée".
Dit autrement, en recherche, de ce que j'ai pu voir, cette question n'a pas d'importance. Et comme la définition "pointée" en plus générale en jouant avec le domaine de départ, je la préfère. Un aspect qui pourrait me faire pencher pour une définition ou une autre est d'ordre pédagogique pendant mes enseignements : quelle est la définition avec laquelle les élèves s'en sortent le mieux ? Je serais intéressé par des études pédagogiques sur ce sujet, qui compare les performances des élèves dans les deux cas. Y en-a-t-il ? Lors de mes recherches (sur Google, pas mes recherches en maths) je n'en ai pas trouvé. Mais je ne suis pas un bon chercheur, alors... (recherche sur Google, pas mes recherches en maths, enfin je crois).
On pourrait aussi invoquer des raisons foireuses à base d'esthétique : la définition "pointée" me semble plus naturelle à définir, surtout dans les espaces topologiques où les voisinages épointés ne sont pas des objets naturels. Mais je suis assez lucide pour me rendre compte que c'est certainement une rationalisation de mon habitude, et pas un argument sérieux.
PS 1 : de toute façon, la seule vraie façon de parler de limite, c'est les filtres (ou les suites généralisées pour les personnes qui n'aiment pas l'abstraction). Quelqu'un de motivé pour enseigner ça en L1 ?
PS 2 : désolé de t'avoir laissé en plan pour les problèmes de topologie des fonctions tests. Après avoir échoué à compiler, ça m'a découragé, puis je me suis retrouvé dans le rush de fin de thèse. Qui sait, peut-être que je reviendrais dessus après ma soutenance ?