Il milite pour la definition du Frido qui est bien evidemment la bonne, surtout si on veut enoncer des theoremes de composition. C'est la definition en prepa au programme de MPSI. Si il y a un programme de l'education nationale qui definit la limite au sens usuel comme la limite lorsque x tend vers a lorsque x est different de a, c'est effectivement une erreur grave car c'est ingerable pour la composition.
Il y a malcomprenure je crois. Dans le Frido, il est défini \lim_{x\to a}f(x)=\ell lorsque pour tout \epsilon, il existe un \delta tel que 0<|x-a|<\delta implique |f(x)-\ell|<\epsilon.
Ça a déjà été discuté l'année passée ainsi que sur les deux pages de discussions de Wikipédia, par exemple ici.
Cette définition, dite «épointée» en France, est la définition admise par la totalité de la communauté mathématique au monde, sauf dans les programmes Français.
Pour répondre à la question initiale :
quel est le programme de maths français qui dit que la limite en un point a est la limite lorsque x tend vers a pour x différent de a ?
La réponse est «aucun». Justement, les programmes Français sont le seul endroit au monde où l'on trouve la limite définie sans exclure a du domaine où x varie.
Et pour la remarque finale :
J'ai un peu de mal a croire qu'il existe d'ailleurs, car les personnes qui l'auraient redige auraient clairement craque leur slip.
Par argument d'autorité : monsieur Perrin dit que les deux choix sont possibles et défendables. Donc j'ai le droit.
De l'aveu même de Perrin, la définition «pointée» n'a pas d'arguments très convaincants et doit son appui pour le CAPES pour rien de plus profond que «c'est ce qui a été utilisé dans le secondaire».
Maintenant les vraies raisons.
Il faut être cohérent. Or si on veut faire des maths un poil plus loin que l'enseignement en France, il n'y a aucun débat : c'est la limite «épointée». Il est donc plus commode d'utiliser tout de suite la définition universellement admise.
La limite épointée permet de distingue plus de cas. En effet la phrase «la limite épointée de f en a existe» donne à f un peu moins de régularité que la phrase «f est continue en a», tandis que «la limite pointé de f en a existe» implique la continuité de f en a.
la limité épointée traduit l'idée intuitive de « la valeur f(x) s'approche de l quand x s'approche de a ». La limite pointée traduit l'idée intuitive de « la valeur f(x) est proche de l quand x est proche de a ».
Si on a peur que f soit pathologique en a, la limite épointée permet de travailler en deux coups : d'abord on calcule la limite épointée en a (qui ne dépend pas de la pathologie éventuelle en a), et ensuite on calcule la valeur en a et on peut la comparer à la limite.
La limite pointée est d'accès un poil plus simple (en particulier pour la composition), mais elle paye en étant moins un poil moins riche en nuances.
Cette simplicité d'accès est certainement un bon argument pour la prendre dans le secondaire. Mais, si c'est là la raison de l'avoir choisie dans le secondaire, je disconviens respectueusement avec Perrin avec l'opportunité de "reconduire" cette définition aux niveaux plus avancés.
[^] # Re: Limite en un point
Posté par LaurentClaessens (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido, livre collaboratif de mathématique de niveau agrégation et un peu plus. Évalué à 4.
Il y a malcomprenure je crois. Dans le Frido, il est défini \lim_{x\to a}f(x)=\ell lorsque pour tout \epsilon, il existe un \delta tel que 0<|x-a|<\delta implique |f(x)-\ell|<\epsilon.
Ça a déjà été discuté l'année passée ainsi que sur les deux pages de discussions de Wikipédia, par exemple ici.
Cette définition, dite «épointée» en France, est la définition admise par la totalité de la communauté mathématique au monde, sauf dans les programmes Français.
Pour répondre à la question initiale :
La réponse est «aucun». Justement, les programmes Français sont le seul endroit au monde où l'on trouve la limite définie sans exclure a du domaine où x varie.
Et pour la remarque finale :
Toute la planète a craqué son slip.
https://math.stackexchange.com/questions/2324926/a-question-about-definition-of-limit
https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
https://zh.wikipedia.org/wiki/函數極限
Pourquoi le Frido suit la définition «épointée» ?
Les mauvais arguments d'abord
Maintenant les vraies raisons.
La limite pointée est d'accès un poil plus simple (en particulier pour la composition), mais elle paye en étant moins un poil moins riche en nuances.
Cette simplicité d'accès est certainement un bon argument pour la prendre dans le secondaire. Mais, si c'est là la raison de l'avoir choisie dans le secondaire, je disconviens respectueusement avec Perrin avec l'opportunité de "reconduire" cette définition aux niveaux plus avancés.