Elle est réglée même sans rien faire, si je m'autorise des jeux de mots moisis.
La limite pointée ne permet pas de faire facilement la différence entre une discontinuité vraiment sale du genre de sin(1/x) en x=0 d'une discontinuité un peu artificielle comme la fonction
La bonne notion à regarder c'est plutôt l'ensemble des valeurs d'adhérence pour la fonction.
Donc bon. L'utilisation de la limite pointée simplifie les trucs très simples,
C'est, plutôt que les "trucs très simples", les énoncés de topologie générale qui "marchent mieux" avec la limite pointée (sinon on s'emmerde à devoir distinguer le cas "point d'accumulation vs. point isolé", c'est tarte. Par exemple l'énoncé
Soit u une suite réelle à valeurs dans A\subset\mathbf{R} et soit f:A \to R une fonction. Si \lim_{n\to\infty} u_n = a, si a\in A et si \lim {x\to a} f(x) = y alors \lim_{n\to\infty} f(u_n) = y.
est faux si on a comme notion de limite la limite "épointée" – à la place il faut dire que f est continue en a.
(essentiellemet équivalents à la limite épointée)
À aucun moment il ne s'agit de dire que la limite épointée ne sert à rien, au contraire c'est aussi une notion fondamentale (cas de N et des suites, limite à l'infini, limite au bord du domaine de définition, dérivées à gauche, à droite, par exemple) et on est bien obligé de manipuler les deux.
[^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido 2018, livre libre de mathématique pour l’agrégation. Évalué à 2.
Elle est réglée même sans rien faire, si je m'autorise des jeux de mots moisis.
La bonne notion à regarder c'est plutôt l'ensemble des valeurs d'adhérence pour la fonction.
C'est, plutôt que les "trucs très simples", les énoncés de topologie générale qui "marchent mieux" avec la limite pointée (sinon on s'emmerde à devoir distinguer le cas "point d'accumulation vs. point isolé", c'est tarte. Par exemple l'énoncé
est faux si on a comme notion de limite la limite "épointée" – à la place il faut dire que f est continue en a.
À aucun moment il ne s'agit de dire que la limite épointée ne sert à rien, au contraire c'est aussi une notion fondamentale (cas de N et des suites, limite à l'infini, limite au bord du domaine de définition, dérivées à gauche, à droite, par exemple) et on est bien obligé de manipuler les deux.