Dites les gars, si quelqu'un voulait un jour «défendre» la limite épointée en citant autre chose que de sources françaises (ce qui confirme ma thèse que Wikipédia viole le principe de neutralité de point de vue), je signale qu'il y a des sources secondaires au moins sur les Wikipédia italianophones et anglophones.
Comme ça, vous pourriez dire qu'il y a eu un jour quelque mathématiciens autre que Français qui ont considéré la limite pointée.
Ah, et pour clarifier : source «secondaire» n'est pas péjoratif, que du contraire. Sur Wikipédia, «secondaire» signifie «qui n'a pas inventé», à mettre en opposition à «travail originial». Ce sont les sources secondaires qui donnent leur pertinence aux concepts. Bourbaki est typiquement une source secondaire qui a beaucoup de pertinence.
La définition "où on enlève le point" donne des théorèmes plutôt moins jolis (par exemple la caractérisation d'une fonction continue par les limites) mais évite de devoir travailler avec deux définitions de limites (limite en un point du domaine et limite en un point extérieur adhérent au domaine) ce qui est peut-être un avantage "dans les petites classes".
M'est avis qu'il ne faut pas deux définitions de limites, parce que la définition pointée demande quand même de prendre l'intersection entre le voisinage et le domaine de la fonction.
Pour la dérivée, on peut écrire
même avec une limite pointée. Les gens ont souvent le scrupule de préciser
mais si j'ai bien compris, formellement, c'est inutile.
Je crois que le seul cas où les deux définitions ne sont pas complètement interchangeables, c'est quand la fonction existe au point considéré, comme pour
Ici, la limite pointée n'existe pas alors que la limité épointée donne \lim_{x\to 0}f(x)=0.
Mais comme il est assez râre d'utiliser la notion de limite là où une fonction existe, en pratique tout ceci n'a aucune importance.
[^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...
Posté par LaurentClaessens (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido 2018, livre libre de mathématique pour l’agrégation. Évalué à 3.
Dites les gars, si quelqu'un voulait un jour «défendre» la limite épointée en citant autre chose que de sources françaises (ce qui confirme ma thèse que Wikipédia viole le principe de neutralité de point de vue), je signale qu'il y a des sources secondaires au moins sur les Wikipédia italianophones et anglophones.
Comme ça, vous pourriez dire qu'il y a eu un jour quelque mathématiciens autre que Français qui ont considéré la limite pointée.
Ah, et pour clarifier : source «secondaire» n'est pas péjoratif, que du contraire. Sur Wikipédia, «secondaire» signifie «qui n'a pas inventé», à mettre en opposition à «travail originial». Ce sont les sources secondaires qui donnent leur pertinence aux concepts. Bourbaki est typiquement une source secondaire qui a beaucoup de pertinence.
M'est avis qu'il ne faut pas deux définitions de limites, parce que la définition pointée demande quand même de prendre l'intersection entre le voisinage et le domaine de la fonction.
Pour la dérivée, on peut écrire
même avec une limite pointée. Les gens ont souvent le scrupule de préciser
mais si j'ai bien compris, formellement, c'est inutile.
Je crois que le seul cas où les deux définitions ne sont pas complètement interchangeables, c'est quand la fonction existe au point considéré, comme pour
Ici, la limite pointée n'existe pas alors que la limité épointée donne \lim_{x\to 0}f(x)=0.
Mais comme il est assez râre d'utiliser la notion de limite là où une fonction existe, en pratique tout ceci n'a aucune importance.