Re: L'analyse au delà de l'agrégation

Ce n'est pas plus facile de partir de l'axiome "il existe un ensemble infini"?

Non, pas vraiment. En fait le processus qu'il décrit est celui de la définition d'un ordinal, cela afin de développer la théorie des ordinaux et l'arithmétique transfinie de Cantor dans ZF. Puis l'axiome de l'infini consiste à affirmer qu'il existe un ordinal limite (i.e. qui n'est pas le successeur d'un autre ordinal, mais l'union des ses antécédents par la relation d'ordre que définit l'appartenance sur eux), ce qui revient tout simplement à affirmer, de manière détournée, que l'arithmétique de Peano est cohérente (elle a un modèle, à savoir le plus petit ordinal limite que l'on appelle \omega).

J'ai pas trouvé le temps d'écrire ce que je voulais faire, ça attendra un peu. Mais juste pour montrer que ZF est un peu étrange sur sa notion d'ensemble, au niveau de l'arithmétique standard on se retrouve avec ça :

Tout est ensemble : un entier est un ensemble, les ensembles ne sont composés que d'ensembles. Il n'y a rien d'autres que des ensembles : les ensembles et leurs éléments sont considérés comme des entités homogènes. Un modèle de ZF est un module U qui satisfait cette signature :

module type ZF = sig
 type t
 val eq : t -> t -> bool
 val appartient : t -> t -> bool
end

Dans ZF, on ne peut formuler une proposition comme : tout entier est pair ou impair, mais seulement : pour tout objet, si c'est un entier alors il est pair ou impair.

Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.