Pour les naturels, j'ai en fait un doute. Ce qui est faisable sans trop de problèmes est de dire que le vide est un naturel et ensuite de définir...
Ce n'est pas plus facile de partir de l'axiome "il existe un ensemble infini"? Disons X autrement dit on a une injection non surjective \sigma: X \to X.
Ensuite on prend \theta qui n'est pas dans l'image de X et on dit
On a par exemple X \in \mathcal{N} et on définit
et ensuite il faut travailler pour montrer que notre \mathbf{N} a les bonnes propriétés, autrement dit, satisfait les axiomes de Peano mais tous sont tautologiques dans ce modèle.
Par exemple, l'axiome de récurrence: Si K\subset\mathbf{N} contient \theta et est stable par \sigma alors K \in\mathcal{N} et donc on a aussi \mathbf{N} \subset K.
[^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido 2018, livre libre de mathématique pour l’agrégation. Évalué à 3. Dernière modification le 14 septembre 2018 à 07:34.
Ce n'est pas plus facile de partir de l'axiome "il existe un ensemble infini"? Disons X autrement dit on a une injection non surjective \sigma: X \to X.
Ensuite on prend \theta qui n'est pas dans l'image de X et on dit
On a par exemple X \in \mathcal{N} et on définit
et ensuite il faut travailler pour montrer que notre \mathbf{N} a les bonnes propriétés, autrement dit, satisfait les axiomes de Peano mais tous sont tautologiques dans ce modèle.
Par exemple, l'axiome de récurrence: Si K\subset\mathbf{N} contient \theta et est stable par \sigma alors K \in\mathcal{N} et donc on a aussi \mathbf{N} \subset K.