À mon époque (une vingtaine d'années), les tribus et la théorie de la mesure de Borel-Lebesgue c'était à partir de la licence; en prépa on ne voyait que les intégrales de Riemann. En revanche les constructions de naturels, fractions, réels... ainsi que le théorème fondamentale de l'algèbre était bien au programme (avec la démonstration).
Pour la preuve, une esquisse fait juste appel à des résultats de base de topologie et de comportements asymptotiques au voisinage de zéro et de l'infini des polynômes. Pour des complexes assez grand en module, le module d'un polynôme non constant se comporte comme son terme de plus haut degré et tend donc vers l'infini. On se limite donc à l'étude de son module sur un domaine fini. Or toute fonction continue sur un compact admet un minimum : il reste à montrer que ce dernier est bien zéro, et donc que le polynôme admet une racine. Soit z_0 un nombre complexe tel que P(z_0) soit de module minimal. Cette fois, on a P(z) - P(z_0) = a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n qui se comporte au voisinage de z_0 comme le monôme de plus petite puissance (le premier des a_i non nuls, qui existe car le polynôme est non constant). Ainsi, pour un petit rayon, à quelques perturbations près, l'image d'un disque autour de z_0 est un disque. Or si l'image de ce disque n'est pas centrée sur l'origine, i.e. si z_0 n'est pas une racine, alors on peut trouver à l'intérieur un complexe de module plus petit que celui de l'image de z_0, ce qui contredirait sa minimalité. Donc z_0 est une racine du polynôme.
CQFD.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.
[^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation
Posté par kantien . En réponse à la dépêche Le Frido 2018, livre libre de mathématique pour l’agrégation. Évalué à 4. Dernière modification le 13 septembre 2018 à 02:40.
À mon époque (une vingtaine d'années), les tribus et la théorie de la mesure de Borel-Lebesgue c'était à partir de la licence; en prépa on ne voyait que les intégrales de Riemann. En revanche les constructions de naturels, fractions, réels... ainsi que le théorème fondamentale de l'algèbre était bien au programme (avec la démonstration).
Pour la preuve, une esquisse fait juste appel à des résultats de base de topologie et de comportements asymptotiques au voisinage de zéro et de l'infini des polynômes. Pour des complexes assez grand en module, le module d'un polynôme non constant se comporte comme son terme de plus haut degré et tend donc vers l'infini. On se limite donc à l'étude de son module sur un domaine fini. Or toute fonction continue sur un compact admet un minimum : il reste à montrer que ce dernier est bien zéro, et donc que le polynôme admet une racine. Soit z_0 un nombre complexe tel que P(z_0) soit de module minimal. Cette fois, on a P(z) - P(z_0) = a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n qui se comporte au voisinage de z_0 comme le monôme de plus petite puissance (le premier des a_i non nuls, qui existe car le polynôme est non constant). Ainsi, pour un petit rayon, à quelques perturbations près, l'image d'un disque autour de z_0 est un disque. Or si l'image de ce disque n'est pas centrée sur l'origine, i.e. si z_0 n'est pas une racine, alors on peut trouver à l'intérieur un complexe de module plus petit que celui de l'image de z_0, ce qui contredirait sa minimalité. Donc z_0 est une racine du polynôme.
CQFD.
Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.