l'existence de la mesure de Lebesgue sur R, c'est du lourd, et la mesure produit sur R2 en rajoute une couche
C'est vrai que c'est un sujet très technique, mais je pense qu'on l'apprend avec toutes cette technicité surtout parcequ'on a en vue la théorie des probabilités qu'on ne peut aborder sérieusement que si on est au point sur les notions de tribus engendrées, etc. – ou bien l'analyse fonctionnelle où l'étude des distributions demande de bien être au point sur les mesures et les théorèmes de représentation qui vont avec (au moins pour la raison que les distributions les plus célèbres comme "intégrale de a à b" et Dirac sont données par des mesures!).
Mais à Bac+1 on peut raisonnablement définir les ensembles mesurables d'un l'espace euclidien en utilisant "le critère d'Archimède": Si la mesure extérieure et intérieure d'une partie F de l'espace euclidien coïncident (prises avec des petits pavés bien orthogonaux) et que les filtres (je dis filtre pour abréger) correspondant convergent vers la même valeur alors (définition) la partie F est mesurable et sa mesure est la valeur commune des mesures intérieure et extérieures. Cela marche raisonnablement bien pour démontrer les outils basiques (les ensembles mesurables sont une sigma-algèbre – le dénombrable vient du fait que dans une somme fini d'un nombre infini de termes, seule une quantité dénombrable de termes peuvent être non nuls) et c'est suffisamment compatible pour avec les méthodes d'intégration du style Riemann (par exemple sa version améliorée Henstock Kurzweil qui gère la convergence dominée, le théorème fondamental de l'analyse et tout et tout) pour que le lien entre intégration et calcule d'aire se démontre facilement.
[^] # Re: Il faut bien lire ce qu'on lit!
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse au journal Le retour de la vengeance de la virgule flottante. Évalué à 2.
C'est vrai que c'est un sujet très technique, mais je pense qu'on l'apprend avec toutes cette technicité surtout parcequ'on a en vue la théorie des probabilités qu'on ne peut aborder sérieusement que si on est au point sur les notions de tribus engendrées, etc. – ou bien l'analyse fonctionnelle où l'étude des distributions demande de bien être au point sur les mesures et les théorèmes de représentation qui vont avec (au moins pour la raison que les distributions les plus célèbres comme "intégrale de a à b" et Dirac sont données par des mesures!).
Mais à Bac+1 on peut raisonnablement définir les ensembles mesurables d'un l'espace euclidien en utilisant "le critère d'Archimède": Si la mesure extérieure et intérieure d'une partie F de l'espace euclidien coïncident (prises avec des petits pavés bien orthogonaux) et que les filtres (je dis filtre pour abréger) correspondant convergent vers la même valeur alors (définition) la partie F est mesurable et sa mesure est la valeur commune des mesures intérieure et extérieures. Cela marche raisonnablement bien pour démontrer les outils basiques (les ensembles mesurables sont une sigma-algèbre – le dénombrable vient du fait que dans une somme fini d'un nombre infini de termes, seule une quantité dénombrable de termes peuvent être non nuls) et c'est suffisamment compatible pour avec les méthodes d'intégration du style Riemann (par exemple sa version améliorée Henstock Kurzweil qui gère la convergence dominée, le théorème fondamental de l'analyse et tout et tout) pour que le lien entre intégration et calcule d'aire se démontre facilement.