C'est vrai qu'on peut se contenter de faire le calcul mais remarquer que la surface de quelque chose change en \lambda2 lorsque cette chose subit une homothétie de rapport \lambda est quand-même une remarque importante. ;)
Bin le calcul illustre l'homothétie de rapport r le long des deux axes (dx devient r dt par homothétie sur les abscisses, et f(rt)=rf1(t) montre l'homothétie sur les ordonnées). Avec la mesure produit issue de la mesure de Lebesgue sur R2, tu fais finalement la même chose. Certes, je te l'accorde, mon papier c'est plus artisanal (je précise au début que c'est volontairement niveau bac+1) et ça évite de sortir l'artillerie lourde (l'existence de la mesure de Lebesgue sur R, c'est du lourd, et la mesure produit sur R2 en rajoute une couche). Avec l'âge, j'évite de sortir le marteau piqueur pour écraser une mouche, sûrement pour économiser mes lombaires :)
Et puis c'est vraiment un point de détail d'expression mais je pense que c'est quand-même plus satisfaisant si on se donne la peine de dire quelque part que "Pi est la surface d'un disque unité."
Dans mon papier, si tu regardes bien, je précise dès le début que Ar est la surface du disque de rayon r (et je note pi celle du disque de rayon 1).
À la fac on avait tout fait avec la fonction exponentielle, du genre "regardez ma belle fonction analytique" puis on déroule tout pour définir pi comme le premier zéro positif de la fonction sinus, puis on calcule le périmètre (facile) et l'aire en faisant le changement trigo adéquat dans ton intégrale.
Oui !!! C'est le développement proposé par W.Rudin dans son (génial) Analyse Réelle et Complexe. De mémoire, ça constitue les 2 première pages: il définit l'exponentielle complexe ez via la complétude de C et la convergence normale de la série des z^n/n!, il en déduit les fonctions trigo usuelles et les formules de développement usuelles (en se servant la série produit et des propriétés de convergence commutative par convergence absolue de la série définissant e^z). Il définit alors pi comme le double du plus petit réel >0 annulant la fonction cosinus. Ce bouquin est une merveille de clarté, propose des exercices super intéressants (mais difficiles et non corrigés) et va quand même très loin en moins de 300 pages, avec des preuves très belles et très efficaces: un must !
[^] # Re: Il faut bien lire ce qu'on lit!
Posté par snowball (site web personnel) . En réponse au journal Le retour de la vengeance de la virgule flottante. Évalué à 2.
Bin le calcul illustre l'homothétie de rapport r le long des deux axes (dx devient r dt par homothétie sur les abscisses, et f(rt)=rf1(t) montre l'homothétie sur les ordonnées). Avec la mesure produit issue de la mesure de Lebesgue sur R2, tu fais finalement la même chose. Certes, je te l'accorde, mon papier c'est plus artisanal (je précise au début que c'est volontairement niveau bac+1) et ça évite de sortir l'artillerie lourde (l'existence de la mesure de Lebesgue sur R, c'est du lourd, et la mesure produit sur R2 en rajoute une couche). Avec l'âge, j'évite de sortir le marteau piqueur pour écraser une mouche, sûrement pour économiser mes lombaires :)
Dans mon papier, si tu regardes bien, je précise dès le début que Ar est la surface du disque de rayon r (et je note pi celle du disque de rayon 1).
Oui !!! C'est le développement proposé par W.Rudin dans son (génial) Analyse Réelle et Complexe. De mémoire, ça constitue les 2 première pages: il définit l'exponentielle complexe ez via la complétude de C et la convergence normale de la série des z^n/n!, il en déduit les fonctions trigo usuelles et les formules de développement usuelles (en se servant la série produit et des propriétés de convergence commutative par convergence absolue de la série définissant e^z). Il définit alors pi comme le double du plus petit réel >0 annulant la fonction cosinus. Ce bouquin est une merveille de clarté, propose des exercices super intéressants (mais difficiles et non corrigés) et va quand même très loin en moins de 300 pages, avec des preuves très belles et très efficaces: un must !