On peut se servir de ce processus, en considérant deux cercles de même centre et en utilisant Thalès, pour prouver que le [périmètre] d'un cercle est proportionnel à son rayon; ce qui pourrait servir de définition au nombre π.
Pour le plaisir de digresser, je ne pense pas que qu'on puisse vraiment procéder de cette façon, parceque l'algorithme en question utilise déjà π puisqu'on ne sait pas construire les polygones réguliers autrement qu'en disant que le polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité a pour sommets
ce qui utilise π (même quand on le déguise en 360 degrés, ce n'est que grâce à la fonction exponentielle que l'on sait mesurer les angles). Si on veut se passer de l'exponentielle – si on dispose de l'exponentielle, autant définir π en disant que c'est le premier zéro positif du sinus – en gardant l'approche par les périmètres on peut utiliser des polygones inscrits et circonscrits plus faciles à construire que les polygones réguliers (en faisant une construction récursive qui permet de calculer itérativement les périmètres).
En revanche, ce qui est très "facile" (il faut juste croire très fort que la théorie de la mesure c'est facile ;) ) est de voir que la surface d'un cercle ne dépend que du carré de son rayon: par translation on se ramène au cas où nos cercles sont de même centre et donc homothétiques de rapport le rapport des rayons. Les pavages (par des carrés) par excès ou par défaut de ces cercles se correspondent mutuellement et comme la surface d'un carré change dans une homothétie par le carré du rapport d'homothétie on peut conclure, en notant π la surface du cercle unité, que la surface d'un cercle de rayon R est \pi R^2. Pour faire le lien avec le périmètre du cercle et l'exponentielle on utilise la formule de Green-Riemann (Stokes).
[^] # Re: Il faut bien lire ce qu'on lit!
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse au journal Le retour de la vengeance de la virgule flottante. Évalué à 3. Dernière modification le 23 janvier 2018 à 17:04.
Pour le plaisir de digresser, je ne pense pas que qu'on puisse vraiment procéder de cette façon, parceque l'algorithme en question utilise déjà π puisqu'on ne sait pas construire les polygones réguliers autrement qu'en disant que le polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité a pour sommets
ce qui utilise π (même quand on le déguise en 360 degrés, ce n'est que grâce à la fonction exponentielle que l'on sait mesurer les angles). Si on veut se passer de l'exponentielle – si on dispose de l'exponentielle, autant définir π en disant que c'est le premier zéro positif du sinus – en gardant l'approche par les périmètres on peut utiliser des polygones inscrits et circonscrits plus faciles à construire que les polygones réguliers (en faisant une construction récursive qui permet de calculer itérativement les périmètres).
En revanche, ce qui est très "facile" (il faut juste croire très fort que la théorie de la mesure c'est facile ;) ) est de voir que la surface d'un cercle ne dépend que du carré de son rayon: par translation on se ramène au cas où nos cercles sont de même centre et donc homothétiques de rapport le rapport des rayons. Les pavages (par des carrés) par excès ou par défaut de ces cercles se correspondent mutuellement et comme la surface d'un carré change dans une homothétie par le carré du rapport d'homothétie on peut conclure, en notant π la surface du cercle unité, que la surface d'un cercle de rayon R est \pi R^2. Pour faire le lien avec le périmètre du cercle et l'exponentielle on utilise la formule de Green-Riemann (Stokes).