Je tient un prof de math, je pose ma question : est-ce que les polynômes de complexe ou de quaternion existent et ont les mêmes propriétés que les polynômes avec des réels ?
Oui pour les complexes, un peu pour les quaternions, et bien que tu ne l'aies pas demandé, pas trop pour les octonions (la dernière algèbre normée).
En gros les anneaux de polynômes sur un anneau A répondent à la question
Est-ce que je peux construire un anneau A[X] qui contient A et un élément supplémentaire X
de sorte que je calcule comme dans A
de sorte que je calcule de façon universelle, càd qu'une égalité de polynômes devienne une égalité entre éléments de A si je substitue un élément de A à X.
Si la multiplication est associative et commutative alors la réponse est oui, si certaines de ces propriétés disparaissent (cas des quaternions ou des octonions) alors on peut toujours cacluler formellement sur ces anneaux, mais il faut faire plus attention et comme a des relations tout à fait différentes des anneaux de polynômes classiques qu'on leur donne un autre nom (cf. algèbre de Jordan).
J'ai l'impression que cette branche des mathématiques a un peu laissé la place aux matrices, mais les cours parlent beaucoup des polynômes. De plus les opérations sur les matrices sont un peu moins "souple".
De quelle branche des mathématiques parles tu? Aujourd'hui les polynômes ou les matrices font partie du bagage de base du mathématicien, quelle que soit sa spécialité. Si on regarde des branches plus spécialisées, comme la théorie algébrique des groupes de Lie, il y a beaucoup d'alèbre linéaire parcequ'on peut représenter les groupes de Lie algébriques comme des sous-groupes du groupe linéaire – et évidemment beaucoup de polynômes parceque c'est de la géométrie algébrique.
[^] # Re: HS math : polynômes de complexe
Posté par Michaël (site web personnel) . En réponse à la dépêche Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation. Évalué à 2.
Oui pour les complexes, un peu pour les quaternions, et bien que tu ne l'aies pas demandé, pas trop pour les octonions (la dernière algèbre normée).
En gros les anneaux de polynômes sur un anneau A répondent à la question
Si la multiplication est associative et commutative alors la réponse est oui, si certaines de ces propriétés disparaissent (cas des quaternions ou des octonions) alors on peut toujours cacluler formellement sur ces anneaux, mais il faut faire plus attention et comme a des relations tout à fait différentes des anneaux de polynômes classiques qu'on leur donne un autre nom (cf. algèbre de Jordan).
De quelle branche des mathématiques parles tu? Aujourd'hui les polynômes ou les matrices font partie du bagage de base du mathématicien, quelle que soit sa spécialité. Si on regarde des branches plus spécialisées, comme la théorie algébrique des groupes de Lie, il y a beaucoup d'alèbre linéaire parcequ'on peut représenter les groupes de Lie algébriques comme des sous-groupes du groupe linéaire – et évidemment beaucoup de polynômes parceque c'est de la géométrie algébrique.