Je ne connais rien aux quaternions, donc je vais être obligé de laisser de côté toute cette partie de ta question :( .
Pour la suite, je ne suis pas expert non plus en interpolation, donc si une personne mieux informée que moi passe derrière, c'est elle qui faut croire.
"Est-ce qu'une image pourrait être considéré comme une fonction holomorphe d'un plan ?" Si on parle d'un signal 2D continu (analogique, si tu préfères), alors non. À moins que ton signal soit, par le plus grand des miracles, déjà holomorphe : si une suite de fonction holomorphe converge vers une fonction f, alors f est aussi holomorphe (je passe les détails techniques sur ce que veut dire "converge"). Et les fonctions holomorphes, il n'y en a pas beaucoup. Par exemple, il n'y a qu'une seule "image holomorphe" avec des bords noirs, à savoir l'image complètement noire (c'est le principe du maximum pour les fonctions holomorphes).
En revanche, si on parle d'un signal 2D échantillonné (une image formée de pixels, quoi), on peut toujours trouver une fonction holomorphe qui à les valeurs qu'on veut sur un nombre fini de points (ici sur les pixels). On peut même trouver un tel polynôme (voir par exemple les polynômes interpolateurs de Lagrange). En revanche, trouver une telle fonction qui ne fait pas n'importe quoi en dehors des pixels est une autre paire de manche. En cherchant un peu, j'ai quand même trouvé une méthode de compression qui se base sur ce genre d'idée, et sur la théorème important qui dit qu'il suffit de connaitre les valeurs d'une fonction holomorphe sur une courbe fermée (par exemple, un cercle) pour connaitre la fonction partout, et donne une formule explicite pour ça (c'est la formule intégrale de Cauchy). Mais l'article n'est pas en libre accès et ils ont obtenu un brevet aux USA dessus. Si vous voulez mon avis, on n'est pas très loin d'un brevet sur les mathématiques (grrr).
[^] # Re: HS math : polynômes de complexe
Posté par danarmk . En réponse à la dépêche Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation. Évalué à 2.
Je ne connais rien aux quaternions, donc je vais être obligé de laisser de côté toute cette partie de ta question :( .
Pour la suite, je ne suis pas expert non plus en interpolation, donc si une personne mieux informée que moi passe derrière, c'est elle qui faut croire.
"Est-ce qu'une image pourrait être considéré comme une fonction holomorphe d'un plan ?" Si on parle d'un signal 2D continu (analogique, si tu préfères), alors non. À moins que ton signal soit, par le plus grand des miracles, déjà holomorphe : si une suite de fonction holomorphe converge vers une fonction f, alors f est aussi holomorphe (je passe les détails techniques sur ce que veut dire "converge"). Et les fonctions holomorphes, il n'y en a pas beaucoup. Par exemple, il n'y a qu'une seule "image holomorphe" avec des bords noirs, à savoir l'image complètement noire (c'est le principe du maximum pour les fonctions holomorphes).
En revanche, si on parle d'un signal 2D échantillonné (une image formée de pixels, quoi), on peut toujours trouver une fonction holomorphe qui à les valeurs qu'on veut sur un nombre fini de points (ici sur les pixels). On peut même trouver un tel polynôme (voir par exemple les polynômes interpolateurs de Lagrange). En revanche, trouver une telle fonction qui ne fait pas n'importe quoi en dehors des pixels est une autre paire de manche. En cherchant un peu, j'ai quand même trouvé une méthode de compression qui se base sur ce genre d'idée, et sur la théorème important qui dit qu'il suffit de connaitre les valeurs d'une fonction holomorphe sur une courbe fermée (par exemple, un cercle) pour connaitre la fonction partout, et donne une formule explicite pour ça (c'est la formule intégrale de Cauchy). Mais l'article n'est pas en libre accès et ils ont obtenu un brevet aux USA dessus. Si vous voulez mon avis, on n'est pas très loin d'un brevet sur les mathématiques (grrr).
Voilà l'article, si quelqu'un qui a un accès à un réseau universitaire veut le lire : 2-D Signal Representation, Interpolation, and a New Approach to Compression