Lorsque tu parles de "polynômes de complexes", tu parles bien de polynômes de à coefficients complexes et à variable complexe ? Je vais supposer que oui. Je ne sais pas sur quels types de propriétés tu t'interroges, mais en voici quelques unes (tu dois probablement en connaitre quelques-unes) :
-Tout polynômes non constant admet une racine (théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de D'Alembert-Gauss)
-Il n'est pas vrai que si x1 et x2 sont deux racines réelles de P, la dérivée P' de P admet une racine entre x1 et x2, alors que c'est vrai pour les polynômes réels (théorème de Rolle). Il existe cependant une propriété un peu différente qui est vraie pour les polynômes complexes (théorème de Gauss-Lucas)
-Pour en venir aux approximations, puisque c'est ce qui semble t'intéresser, il n'est pas vrai qu'on puisse approcher toute fonction continue par un polynômes (alors que ça l'est dans le cas réel, théorème d'approximation de Weierstrass). Les fonctions que l'on peut approcher par des polynômes complexes sont les fonctions holomorphes (théorème de Runge). les fonctions holomorphes sont les fonctions qui peut dériver par rapport à la variable complexe, propriété qui est extrêmement rigide ; par exemple, une fonction holomorphe, donc a priori dérivable seulement une fois, l'est en fait forcément une infinité de fois. Aussi, deux fonctions holomorphes qui sont égales sur un segment, sont en fait égales partout.
Voilà, je ne suis pas spécialiste de ce genre de question, mais j'espère t'avoir donné deux-trois idées.
[^] # Re: HS math : polynômes de complexe
Posté par danarmk . En réponse à la dépêche Le Frido : un livre, libre, de mathématiques pour l’agrégation. Évalué à 5.
Lorsque tu parles de "polynômes de complexes", tu parles bien de polynômes de à coefficients complexes et à variable complexe ? Je vais supposer que oui. Je ne sais pas sur quels types de propriétés tu t'interroges, mais en voici quelques unes (tu dois probablement en connaitre quelques-unes) :
-Tout polynômes non constant admet une racine (théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de D'Alembert-Gauss)
-Il n'est pas vrai que si x1 et x2 sont deux racines réelles de P, la dérivée P' de P admet une racine entre x1 et x2, alors que c'est vrai pour les polynômes réels (théorème de Rolle). Il existe cependant une propriété un peu différente qui est vraie pour les polynômes complexes (théorème de Gauss-Lucas)
-Pour en venir aux approximations, puisque c'est ce qui semble t'intéresser, il n'est pas vrai qu'on puisse approcher toute fonction continue par un polynômes (alors que ça l'est dans le cas réel, théorème d'approximation de Weierstrass). Les fonctions que l'on peut approcher par des polynômes complexes sont les fonctions holomorphes (théorème de Runge). les fonctions holomorphes sont les fonctions qui peut dériver par rapport à la variable complexe, propriété qui est extrêmement rigide ; par exemple, une fonction holomorphe, donc a priori dérivable seulement une fois, l'est en fait forcément une infinité de fois. Aussi, deux fonctions holomorphes qui sont égales sur un segment, sont en fait égales partout.
Voilà, je ne suis pas spécialiste de ce genre de question, mais j'espère t'avoir donné deux-trois idées.