Bonne initiative de faire un livre libre en math, bravo à toi.
En parcourant le livre, je vois que tu poses quelques questions, voici quelques réponses ou remarques à quelques unes d'entre elles. J'ai une certaine tendance à faire des démonstrations par intimidation à moi-même, c'est donc à prendre avec quelques pincettes, mais si ça peut aider... je me crée un compte linuxfr rien que pour ça, tiens.
Question 7 : u est bien sûr C^3 ; je ne fais que spéculer car je n'ai pas lu le document auquel tu fais référence, mais il est possible qu'il indique C^2 car c'est dans la définition de solution d'équation différentielle d'ordre 2.
Question 8 : Oui, on peut échanger l'intégrale. En parcourant la démonstration en rapport avec cette question, il me semble que tu en fais d'ailleurs presque la démonstration sans t'en rendre compte : la formule de Hölder implique |\int_I u,円 d\lambda| \leq |u|_{L^2(I)} (j'utilise \lambda pour désigner la mesure de Lebesgue ; je n'ai pas lu suffisamment le livre pour voir la notation que tu emploies), ce qui implique que T: u\mapsto \int_I ud\lambda est une forme linéaire sur L^2, bien définie d'une part, mais également continue. Donc si (u_n) converge dans L^2 vers u, T(u_n) converge vers T(u).
Question 9 : La mesure de Lebesgue n'ayant pas d'atome, ces espaces sont bien égaux, ou plus précisément, on peut les identifier. Tu as donné l'identification entre L^p([0,2\pi]) et L^p(]0,2\pi[) ; pour identifier L^p(S) aux deux autres espaces, il faut identifier (tu t'en doutes certainement) S à [0,2\pi[ via l'exponentielle. Je ne sais pas si ça répond à tes exigences de précisions, mais en tout cas, je n'ai aucun doute sur la véracité de la chose. Ou alors je pense que je peux trouver plein d'articles qui tombent à l'eau.
Question 12 : je n'ai pas lu les démonstrations en questions, mais pour un traitement précis de la topologie de \mathcal D(K) et \mathcal D(\Omega), je recommande si tu ne l'as pas déjà lu, "Functional Analysis" de Rudin. Il n'est plus en stock nul part ni édité par qui que ce soit, mais il doit bien être dans une bibliothèque de math ou trouvable en scan sur internet.
Question 18 : on peut utiliser les théorèmes de Fubini sur les mesures produits ; une somme infinie (sauf cas semi-convergent) n'est rien d'autre que l'intégrale selon la mesure de comptage, qui est bien \sigma-finie. J'ai un peu la flegme d'écrire les détails ici, mais si tu en as besoin de plus, je ferais un effort.
Question 21 : je ne me prononcerais pas complètement dessus (pas ma spécialité), mais les démonstrations via les ordinaux font souvent implicitement utilisation du théorème de Zermelo, équivalent à l'axiome du choix. De plus, je doute qu'il soit possible d'exhiber une telle partie sans l'axiome du choix, ou une version affaiblie. Peut-être (je dis bien peut-être) que la réponse à tout ça est quelque part sur le blog de Terrence Tao. Tout ceci est à prendre avec encore plus de pincettes que le reste.
Question 27 : le fait que pour tout \epsilon >0 il existe un entier N tel que si p et q sont supérieurs à N, alors d(x_p,x_q)<\epsilon est la définition d'une suite de Cauchy dans une espace métrique (ou, si on part des d'espaces uniformes, une conséquence de la définition de la structure uniforme définie par une distance). Tu le sais probablement, mais il faut bien faire attention au fait que deux distances peuvent définir la même topologie, mais ne pas avoir les même suites de Cauchy ; une peut-être complète mais pas l'autre, par exemple.
Voilà, c'est à peu près tout. Désolé si jamais j'ai effectivement fait une démonstration par intimidation, ou si j'ai répondu à côté de la plaque, mais j'espère que ça peut aider. Si je ne répond que en analyse, c'est parce que je suis spécialisé en analyse, et que mes souvenirs de prépa et des quelques cours en algèbre que j'ai eu après ne suffisent pas à piger grand chose du reste.
Et encore bravo pour ton travail ! Si je suis motivé, peut-être que je relirais quelques démonstrations.
# Réponses à quelques questions
Posté par danarmk . En réponse à la dépêche Le Frido, un livre de mathématique libre pour l’agrégation. Évalué à 7. Dernière modification le 29 septembre 2016 à 17:27.
Bonne initiative de faire un livre libre en math, bravo à toi.
En parcourant le livre, je vois que tu poses quelques questions, voici quelques réponses ou remarques à quelques unes d'entre elles. J'ai une certaine tendance à faire des démonstrations par intimidation à moi-même, c'est donc à prendre avec quelques pincettes, mais si ça peut aider... je me crée un compte linuxfr rien que pour ça, tiens.
Question 7 : u est bien sûr C^3 ; je ne fais que spéculer car je n'ai pas lu le document auquel tu fais référence, mais il est possible qu'il indique C^2 car c'est dans la définition de solution d'équation différentielle d'ordre 2.
Question 8 : Oui, on peut échanger l'intégrale. En parcourant la démonstration en rapport avec cette question, il me semble que tu en fais d'ailleurs presque la démonstration sans t'en rendre compte : la formule de Hölder implique |\int_I u,円 d\lambda| \leq |u|_{L^2(I)} (j'utilise \lambda pour désigner la mesure de Lebesgue ; je n'ai pas lu suffisamment le livre pour voir la notation que tu emploies), ce qui implique que T: u\mapsto \int_I ud\lambda est une forme linéaire sur L^2, bien définie d'une part, mais également continue. Donc si (u_n) converge dans L^2 vers u, T(u_n) converge vers T(u).
Question 9 : La mesure de Lebesgue n'ayant pas d'atome, ces espaces sont bien égaux, ou plus précisément, on peut les identifier. Tu as donné l'identification entre L^p([0,2\pi]) et L^p(]0,2\pi[) ; pour identifier L^p(S) aux deux autres espaces, il faut identifier (tu t'en doutes certainement) S à [0,2\pi[ via l'exponentielle. Je ne sais pas si ça répond à tes exigences de précisions, mais en tout cas, je n'ai aucun doute sur la véracité de la chose. Ou alors je pense que je peux trouver plein d'articles qui tombent à l'eau.
Question 12 : je n'ai pas lu les démonstrations en questions, mais pour un traitement précis de la topologie de \mathcal D(K) et \mathcal D(\Omega), je recommande si tu ne l'as pas déjà lu, "Functional Analysis" de Rudin. Il n'est plus en stock nul part ni édité par qui que ce soit, mais il doit bien être dans une bibliothèque de math ou trouvable en scan sur internet.
Question 18 : on peut utiliser les théorèmes de Fubini sur les mesures produits ; une somme infinie (sauf cas semi-convergent) n'est rien d'autre que l'intégrale selon la mesure de comptage, qui est bien \sigma-finie. J'ai un peu la flegme d'écrire les détails ici, mais si tu en as besoin de plus, je ferais un effort.
Question 21 : je ne me prononcerais pas complètement dessus (pas ma spécialité), mais les démonstrations via les ordinaux font souvent implicitement utilisation du théorème de Zermelo, équivalent à l'axiome du choix. De plus, je doute qu'il soit possible d'exhiber une telle partie sans l'axiome du choix, ou une version affaiblie. Peut-être (je dis bien peut-être) que la réponse à tout ça est quelque part sur le blog de Terrence Tao. Tout ceci est à prendre avec encore plus de pincettes que le reste.
Question 27 : le fait que pour tout \epsilon >0 il existe un entier N tel que si p et q sont supérieurs à N, alors d(x_p,x_q)<\epsilon est la définition d'une suite de Cauchy dans une espace métrique (ou, si on part des d'espaces uniformes, une conséquence de la définition de la structure uniforme définie par une distance). Tu le sais probablement, mais il faut bien faire attention au fait que deux distances peuvent définir la même topologie, mais ne pas avoir les même suites de Cauchy ; une peut-être complète mais pas l'autre, par exemple.
Voilà, c'est à peu près tout. Désolé si jamais j'ai effectivement fait une démonstration par intimidation, ou si j'ai répondu à côté de la plaque, mais j'espère que ça peut aider. Si je ne répond que en analyse, c'est parce que je suis spécialisé en analyse, et que mes souvenirs de prépa et des quelques cours en algèbre que j'ai eu après ne suffisent pas à piger grand chose du reste.
Et encore bravo pour ton travail ! Si je suis motivé, peut-être que je relirais quelques démonstrations.