Justement, il faut l'indiquer quand tu écrit l'équivalence.
D'ailleurs, en fait, quand on regarde, c'est ni un raisonnement par équivalence ou implication qui est fait. C'est un raisonnement déductif. Les phrases logiques du type p^2 = 2q^2 sont à p,q fixé.
Personnellement, je proposerai une formulation de type là (en très détaillé, ce qui est le but d'un ouvrage pédagogique) :
Donc il existe p,q\in\mathbb{N} tel que p,q premiers entre eux, et \frac{p}{q}=\sqrt{2}.
On a \frac{p^2}{q^2}=2 [1], et donc p^2 = 2q^2 [2].
En utilisant [2] p^2 est pair. Donc p est pair. [3]
En utilisant [3], il existe p' tel que p=2p'. Puis en utilisant [2] 4p'=2q^2, donc q^2 est pair, et donc q est pair. [4].
[3] et [4] permettent de conclure que p et q sont pairs, et donc non premiers entre eux, ce qui est contradictoire. L'hypothèse \sqrt{2} \in \mathbb{Q}_+ est donc fausse. \sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}_+ est donc prouvée.
Et pour une version courte, je proposerais.
Hypothèse : \sqrt{2} \in \mathbb{Q}_+.
On déduit de l'hypothèse l'existence de p,q premiers entre eux tel que \frac{p}{q}=2. On en déduit p^2=2q^2, ce qui nous permets de dire que p^2 et donc p sont pairs, et introduisant un entier p' tel que p=2p', et en l'injectant dans p^2=2q^2, on déduit que q^2 et donc q sont pairs. La parité de p et q contredit la condition de leur existence. L'hypothèse initiale est donc fausse.
On a prouvé que \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}_+.
[^] # Re: Rigueur mathématique du bouquin
Posté par jben . En réponse au message Conseils pour améliorer mon niveau de maths. Évalué à 3.
Justement, il faut l'indiquer quand tu écrit l'équivalence.
D'ailleurs, en fait, quand on regarde, c'est ni un raisonnement par équivalence ou implication qui est fait. C'est un raisonnement déductif. Les phrases logiques du type p^2 = 2q^2 sont à p,q fixé.
Personnellement, je proposerai une formulation de type là (en très détaillé, ce qui est le but d'un ouvrage pédagogique) :
Et pour une version courte, je proposerais.