Integral

Nota: Este artigo está entupido de fórmulas (削除) inúteis (削除ここまで). Se você odeia equações ou odeia encontrar o x, clique aqui.

Cquote1.png Você quis dizer: Leite integral? Cquote2.png
Google sobre Integral
Cquote1.png Você quis dizer: Pão integral? Cquote2.png
Google sobre Integral
Cquote1.png Integrei pra Deu∫! Cquote2.png
Aluno de Engenharia sobre as notas da prova de integrais
Cquote1.png ZIVUDEU!!!! Cquote2.png
Professora de Cálculo sobre a relação entre alunos e integrais
Cquote1.png Fui eu que fiz! Cquote2.png
Paulo Maluf sobre integrais
Cquote1.png Teria sido melhor ver o filme do Pelé! Cquote2.png
Chaves sobre a aula de integrais

A Integração, muitas vezes representada pelo famigerado e temido ∫, é a uma das piores operações que se pode fazer em Cálculo (como o Cálculo só tem três operações mesmo, as outras são o Limite e a Derivada), muito utilizada para rodar levas inteiras de (削除) peões (削除ここまで) alunos de Engenharia e Matemática, embora alguns estudiosos digam que a Integral tem uma grande importância na determinação de áreas abaixo de funções ^{[carece de fontes ]}. (削除) A tortura (削除ここまで) O processo de criar integrais chama-se (削除) dar à luz (削除ここまで) integração. Para identificar de longe se se trata de uma integral, basta observar:

[math]\displaystyle{ \int f(x)dx=F(x)+C }[/math]

Se aquele s alongado aparecer, trate de ficar desgraçado da cabeça, pois ali está uma integral à espreita e pronta para ser resolvida.

Integrais e áreas curvas[editar ]

Desde os tempos pré-Dercyanos os nerds, estudiosos e cientistas procuravam fórmulas fáceis e rápidas para calcular áreas que não possuíam formulas específicas, como a área de uma bola de futebol americano, a área ocupada pela bunda da tua mãe ou mesmo a área total da mancha de cerveja derramada no sofá por você. O primeiro destes métodos foi criado por um grego (削除) vagabundo (削除ここまで) filósofo (pleonasmo?), e se chama Método da Exaustão, que consistia em dividir a área que se queria saber em mais de oito mil retângulos e calcular a área deles. Isso explica o nome deste método, que foi abandonado devido à incapacidade dos ábacos em somar numeros maiores que cem.

Com o nascimento de grandes (削除) nerds (削除ここまで) cérebros, tais quais Newton e Leibiniz, que desenvolveram novos métodos de achar estas áreas, o método da exaustão foi deixado de lado (um dos motivos é porque o método da exaustão sempre dava valores nas coxas, mas nunca ninguém deu bola pra isso). Com a criação do Cálculo (削除) renal (削除ここまで) por parte dos desocupados supracitados, descobriu-se uma maneira mais fácil^{[carece de fontes ]} de calcular as referidas áreas, necessitando apenas que elas possuam uma equação.

E, da mesma forma como criaram o Cálculo Diferencial, Newton e Leibiniz inventaram o Cálculo Integral, com todos os formalismos e enchimentos de linguiça possíveis, tudo isso apenas para dar assunto durante as aulas e também para poder cobrar coisas a mais na prova, como se o básico já não fosse suficiente. Depois de Newton e Leibiniz, apareceu um tal de Riemann, que desenvolveu plena e gloriosamente o conceito de integral.

Integral de Riemann[editar ]

Cquote1.png Você quis dizer: He-man? Cquote2.png
Google sobre Riemann

Bernard (削除) He-Man (削除ここまで) Riemann era o pupilo mais querido, bajulado, adorado (削除) e sodomizado (削除ここまで) de Gauss, o deus da matemática. Como pupilo mais querido, foi o que deu o maior fruto a seu mestre: desenvolveu ele mesmo o conceito de integral (claro que o conceito dele tinha falhas, mas, em 1800 e pau com corda, só com ábacos, até que esse cara fez demais). Riemann desenvolveu sua integral por meio de somas de retângulos que englobam a região a ser calculada, mostrando a grande criativdade de seu raciocínio. Segundo Riemann, a fórmula seria:

[math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)-s\right|\lt \varepsilon }[/math]

Onde:

• n = número de retângulos na área
• x = a base dos retângulos
• t_i = altura dos retângulos (que pode variar, ou seja, vai dar um baita trabalho)

A fórmula acima apenas serve para os alunos dizerem em alto e bom som Cquote1.png MAS QUE PORRA É ESSA? AAAAAAAAAAAA!! Cquote2.png, pois nem mesmo o próprio Riemann soube explicar esses hieróglifos. No entanto, Gauss, por meio de uma gambiarra matemática, conseguiu provar que esta integral ecziste e que ela servia para alguma coisa a mais além de ferrar com os alunos de cálculo. Com isto seu pupilo foi reconhecido como criador da integral e a partir de sua denominação desenvolveu-se o método de integração que se usa em qualquer lugar, desde o Acre ^{[carece de fontes ]} até o inferno.

O conceito (削除) furado (削除ここまで) de integral proposta por Riemann será muito útil para calcular integrais definidas, onde o domínio é restrito a valores que você não gostaria de calcular nem fodendo. Essas integrais definidas, pela suruba de sinais e outros aspectos, serão tratadas em (削除) volume (削除ここまで) seção posterior.

Processos de Integração[editar ]

Assim como na outra operação do Cálculo (a diferenciação) existem regras para (削除) jogar (削除ここまで) integrar. Dentre as mais de oito mil regras que existem e que a sua professora de Cálculo irá te obrigar a decorar só porque vai cair na prova, estão:

• Integral de uma constante : a integral de uma contante é a constante vezes a variável mais a constante C. Exemplo:

[math]\displaystyle{ \int a\ dx = a.x + C }[/math]

OBS: Se a constante for zero, então só sobra mesmo a constante C e zivudeu o x:

[math]\displaystyle{ \int 0\ dx = C }[/math]

• Regra da (削除) Im (削除ここまで)Potência: De forma análoga à regra da derivada, na integral o expoente é somado de um e a porra toda é dividida pelo novo expoente:

[math]\displaystyle{ \int x^{n}\ dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math]

OBS (porra, outra observação?): No entanto, se o expoente do x for -1 (menos um), a coisa complica, pois não se pode dividir por zero. Então, os (削除) nerds (削除ここまで) matemáticos chegaram a seguinte conclusão (e não venha você pedir o porque da conclusão ser esta, a não ser que queira que o pau coma):

[math]\displaystyle{ \int x^{-1}\ dx = ln|x| + C }[/math]

• Regra do Múltiplo Constante : O múltiplo fica na frente, multiplicando toda a integral que está atrás:

[math]\displaystyle{ \int k.f(x)\ dx = k.\int f(x) \ dx + C }[/math]

• Regra da Função Exponencial Natural: por ser a sem-graça, sua integral será ela mesma, acrescida da contanste maldita:

[math]\displaystyle{ \int e^{x}\ dx = e^{x} + C }[/math]

• Regra da Soma: uma integral de somas é igual à soma das integrais (WTF?):

[math]\displaystyle{ \int [f(x) + g(x)]\ dx = \int F(x) \ dx + \int g(x) \ dx + C }[/math]

• Regra da Diferença: uma integral de diferenças é a diferença das integrais (O RLY?):

[math]\displaystyle{ \int [f(x) - g(x)]\ dx = \int F(x) \ dx - \int g(x) \ dx + C }[/math]

• Regra da Substituição: de forma análoga á regra da cadeia, na regra da substituição deve-se escolher uma parte da porra toda, dar o nome de uma letra a ela, e calcular a derivada desta função, para depois colocar no lugar do dx, com o nome de d(nome da letra). Deve-se prestar atenção, pois se depois da substituição ainda houver algum x, então, ou tu fez merda, ou essa regra não serve. Como exemplo:

[math]\displaystyle{ \int x.(4x^{2} + 7)\ dx }[/math]

Admitindo que [math]\displaystyle{ u = 4x^{2} + 7 }[/math] e que [math]\displaystyle{ u' = 8x }[/math], realizamos a substituição:

[math]\displaystyle{ \int x.u \ du.\frac{1}{8x} = \frac{1}{8}. \int u\ du = \frac{1}{8}.\frac{u^{2}}{2} + C = \frac{(4x^{2} + 7)^{2}}{16} + C }[/math]

Como se pode perceber, esta é uma operação completamente simples e fácil de resolver, embora a sua Professora de Cálculo, (削除) sabiamente (削除ここまで) vá dizer que é um proceso dificílimo e altamente descabelante.

• Regra da Integração por Partes: processo preferido por Jack, o estripador, é muito utilizada onde a regra da substituição não funciona, saba-se lá por que motivo. Geralmente essa regra é utilziada por produtos de funções sem costumes, que se resumem numa suruba. Esta regra é a recíproca da regra do produto para derivadas, que é:

[math]\displaystyle{ D[f(x).g(x)] = f(x).g'(x) + g(x).f'(x),円 }[/math]

Admitindo que f(x) = u, f'(x) = dx, g(x)= v e g'(x) = dv e integrando dos dois lados, a fórmula fica:

[math]\displaystyle{ \int \frac{u.v}{dx}\ dx = \int u\ dv + \int v\ du,円 }[/math]

Como derivada e integral se (削除) matam (削除ここまで) cancelam, e, rearranjando a conta, chegamos a:

[math]\displaystyle{ \int u\ dv = u.v - \int v\ du + C ,円 }[/math]

Esta é a formula que você terá de usar e se foder para conseguir calcular inegrais por partes. E, se durante a resolução, aparecer outra integral por partes, terá de repetir o processo, MWAHAHAHAHAHA!

Constante arbitrária de Integração[editar ]

O problema ao se integrar é o fato de que sempre se criará uma constante C, que é conhecida (削除) e registrada em cartório (削除ここまで) como Constante arbritária de integração. É este numerozinho do capeta que irá discernir umas integrais das outras. Seu uso, no entanto é apenas utilizado para rodar alunos por serem (削除) burros (削除ここまで) desatentos, entre outros pega-ratões.

Essa constante é fruto do processo inverso à diferenciação onde um valor sem varíavel some durante a diferenciação. Então, ao integrar, você tem de (削除) ressucitar (削除ここまで) reescrever este valor. E, como nunca se sabe este valor, coloca-se outra letra, geralmente o famoso C. O grande problema de se calcular esta constante está em saber o valor da integral em um determinado valor da variável. Sem isso, você não é capaz de calcular o C nem fodendo.

Integral definida[editar ]

A integral definida é a integral que, quando resolvida, deverá obrigatoriamente dar um número, sem x em porra nenhuma. Ela se torna definida quando os limites inferior e superior de integração são definidos. No entanto, estes limites nada mais são do que valores de x e a área entre esses números é o que você pretende calcular. A notação de uma integral definida é:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x) \ dx = \int [f(b) - f(a)] = ? }[/math]

Onde:

• a é o limite inferior de integração, ou seja, onde começa a área que você está tentando calcular;
• b é o limite superior de integração, que é onde termina a (削除) maldita (削除ここまで) referida área;

Para calcular a área destas integrais, é apenas preciso descontar o limite inferior do superior, o que dará na área. Não se preocupe com a constante C, pois, nas integrais definidas ela sempre peidará para a muzenga. O motivo (削除) de tamanha felicidade (削除ここまで) disso será discutido logo.

Integral de linha[editar ]

A integral de linha é uma integral de uma função vetorial (WTF?), que retorna um produto escalar (ou seja, um número, e não um vetor). Se constitui do somatório das infinitas posições vetoriais da função que foi integrada, o que constitui numa chatice sem limite (com o perdão do trocadilho). Pelo fato de não ser um vetor, não tem nem sentido, nem direção, o que é totalmente excelente.

Esse tipo de integral tem muita (削除) des (削除ここまで)importância na física ^{[carece de fontes ]}, onde nerds malucos ficam fazendo continhas e gráficos apenas para usar essa integral. Geralmente ela é utilizada para calcular o trabalho que você deveria ter realizado (seu vagabundo!!), ou a distância percorrida em uma trajetória conhecida, dentre outros enchimentos de linguiça.

Teorema fundamental do Cálculo e áreas entre curvas[editar ]

O Teorema Fundamental do Cálculo, foi proposto por Newton e Leibiniz, em meados de 1700 e pau com pedra, quando realizaram o desenvolvimento do Cálculo. Esse teorema diz que, uando se calcula uma integral definida, as constantes desaparecem, pois isso é resultado da operação de subtração entre elas. Desta forma, o teorema diz que, quando se calcula as integrais definidas, as constantes vão à puta que pariu.

Esse teorema tem importância capital (ou não), pois, se precisássemos saber o valor das constantes, as Integrais não serviriam para porra nenhuma. Com isso, o teorema salvou todo o trabalho daqueles dois vagabundos e até nos ajudou, já que ter de ficar calculando o valor da constante C é uma merda sem tamanho.

Esse teorema é fundamental para calcular áreas situadas entre duas curvas. Por meio das integrais das referidas curvas e da subtração da integral da curva mais baixa da integral da curva mais alta, sendo que, algumas vezes é preciso despedaçãr em duas, três, cem, 666 ou oito mil integrais, todas somadas umas as outras, de forma altamente suspeita. E depois, para resolver a suruba numérica e de sinais, vai ser preciso uma concentração de monge tibetano e um supercomputador no lugar de uma calculadora. Se você tiver muita sorte, vai conseguir chegar à área correta.

Aplicações[editar ]

Posta a importância capital^{[carece de fontes ]} do Cálculo em vários setores das ciências exatas e tencológicas, as integrais foram a forma mais simples de se calcular áreas redondas, irregulares, inexistentes e satânicas. Na Física, que é irmã-gêmea-siamesa da matemática, então, nem se fala. Se usa integrais para calcular desde trabalho até campos relativísticos de Einstein-Schrödinger-...Ronaldo!, dentre outras maluquices que só físicos e nerds avançados entendem.

Na matemática, a integral, a derivada e o cálculo são utilizados nas áreas (削除) inúteis (削除ここまで) de (削除) anal (削除ここまで) análise real e complexa ^{[carece de fontes ]}, que nada mais são do que provar que 1 + 1 é 2 ou porque o número 2 é par, dentre outras funções totalmente imprestáveis e que são usados pelos matemáticos apenas como fonte de prazer (ou sadomasoquismo) profisional.

• Cálculo