0.999...=1?

0.999...=1?の記事ではウィキペディアでの数学的な矛盾について説明する。0.999...が1に等しいことは0.999...を見るように。

まずわかりやすくするため、以下のようにまとめておく。

• アンサイクロペディアでもウィキペディアでも0.999...=1は認めている。
• だがアンサイクロペディアでは1=2が証明され認めているにもかかわらず、ウィキペディアでは1=2を認めていない。

数列と数学的帰納法を用いて[編集 ]

0.9,0.99,0.999,0.9999,...

という数列がある。第一項の0.9は1でないことは明らか(ウィキペディアでは)。第k項0.999...(k個分続く)が1でないと仮定した場合、0.999...(k+1個分続く)が1でなければよいのである。そしてkが有限個の自然数であれば1と等しいとは認めていない(ウィキペディアでは)。よって0.999...は1とは等しくない。これはアンサイクロペディアはもちろん、ウィキペディアとさえも矛盾する。

だが、待てよ...もしもこの論法が通用するなら同様に次にことが言える。 「0.999... > 0.9」であることは明らかだ。小数点以下第k桁までの0.999...(k桁)が「0.999... > 0.999...(k桁)」と仮定した場合、第k+1桁までの数でも当然「0.999... > 0.999...(k+1桁)」になるのだから...

0.999... > 0.999...

となり矛盾が...

指数を使って[編集 ]

さっきの数列は

[math]\displaystyle{ 1-(0.1)^1 }[/math],[math]\displaystyle{ 1-(0.1)^2 }[/math],[math]\displaystyle{ 1-(0.1)^3 }[/math],[math]\displaystyle{ 1-(0.1)^4 }[/math],...

とすることが可能だ。で注目すべきは[math]\displaystyle{ (0.1)^x }[/math]である。 指数のグラフを見ればわかるがx座標に限りなく近づきはするもののどこまでいってもx座標につかない。よって[math]\displaystyle{ (0.1)^x=0 }[/math]となるxは存在せず0.999...=1とはいえなくなってしまう。

電卓で[編集 ]

×ばつ3=1のはずであるがウィキペディアの考えによっている電卓ではこれを説明できない。(一部の電卓ではこの混乱を回避している)

0.000...1ずつ減らして[編集 ]

0.999...9=1ということは0.000...1減らした0.999...8は0.999...9に等しい。さらに0.000...1減らすと0.999...7=0.999...8である。

..

..

..

さらに0.000...1減らすと0.000...1=0.000...2である。さらに0.000...1減らすと0=0.000...1である。よって0=0.000...1=0.000...2=...=0.999...8=0.999...9=1となる。省略すると0=1になり、1足すと1=2になる。これはウィキペディアとは矛盾する。またウィキペディアが認めているやり方だけで1=2が証明できるともいえる。

0.999...=1?[編集 ]

そもそもウィキペディアの考え方のみ、つまり1=2の考え方なしでは0.999...=1かどうかはなはだ疑問である。なぜなら数列や指数の項を見たとおりだと0.999...と1が同じでないことが証明されているのである。また電卓の項がそれを後押ししている。そもそも0.000...1を使った証明で0.999が1と等しいのに1=2を証明できないはずはないのである。ということは

• 0.999...=1でありかつ1=2である
• 0.999...≠1でありかつ1≠2である

という2つの結果に絞り込める。アンサイクロペディア、ウィキペディア両辞典とも0.999...=1を認めているので上のように思えるが(単に四捨五入すればそれだけで済む話)、1=2であることをウィキペディアが強く反対しているので正確な決着はまだついていない。

参考[編集 ]

• 0.999...
• ...999=-1
• 1
• 1=2
• 数学的帰納法

• 科学関連のスタブ
• 数式
• 1