連続最適化および関連分野に関する夏季学校

本夏季学校では, 連続最適化とその関連分野 (凸解析, 数値計算, 線形代数など) において現在活躍中の研究者からの講義と演習を通して, 基本的な事柄から最先端の動向までを整理・理解することを試みます. これにより, 学生を含む若手研究者の基礎力の養成および新たな研究テーマの発見を目指します. 若手以外の研究者や隣接分野の研究をしている方の研究の幅を広げる目的での参加も歓迎します.

• 期間: 2021 年 8 月 23 日 (月) -- 8 月 25 日 (水)
• 会場: オンライン会議システム Zoom
• 参加費: 無料
• 問い合わせ先: 田中未来 (統計数理研究所) mirai 🐧 ism.ac.jp

不動点理論と最適化

• 講師: 飯塚秀明氏 (明治大学 理工学部 情報科学科)
• 概要: 本講義では, 不動点とは何か? 不動点を見つけるとなぜ嬉しいのか? といった素朴な問に対する回答例の提示を目的として進めていこうと思います. 不動点を見つける事とある凸関数を最小化する事を関連付けるには, ヒルベルト空間上の非拡大写像と呼ばれる不動点について議論する必要があります. そのため, 全講義の前半は, ヒルベルト空間, 不動点, 非拡大写像の定義や例について紹介します. 後半は, 不動点を見つけるための手法 ---不動点近似法--- について紹介します. 特に, 工学の分野で利用されている Krasnosel’skiĭ と Mann によって提案された不動点近似法の不動点への収束性について紹介します. 演習問題は, 不動点近似法の収束証明によく使われる不等式等の証明問題や不動点近似法のプログラミング演習に関する問題を予定しています. 本講義を通して, 不動点の重要さと応用について少しでも理解を深めて頂ければ幸いです. ご参加をお待ち申し上げます.
• 本講義で使用する文献 (講義のときに手元にあるといいと思います): 高橋渉, 非線形・凸解析学入門, 横浜図書, 2005.
• 資料: TBA

リーマン多様体上の最適化理論とその周辺

• 講師: 佐藤寛之氏 (京都大学 大学院情報学研究科 数理工学専攻)
• 概要: 制約付き最適化問題の実行可能領域がリーマン多様体をなす場合, その問題をリーマン多様体上の無制約最適化問題と見なすこともでき, そうすることで制約条件が含有する幾何学的な構造を利用しやすくなることがあります. 本講義では, 主に, リーマン多様体上で定義される無制約最適化問題を扱い, その解法や応用について紹介します. 線形代数と微積分の知識を前提としますが, なるべくそれら以外の知識を仮定せずに数学的な議論を展開する予定です. 特に, リーマン多様体上の最急降下法や共役勾配法といった 1 次の最適化手法を中心に説明しますが, その他の手法を含むような一般的な枠組みもあわせて紹介することで, この分野に興味を持った方がニュートン法などの 2 次の最適化手法についても議論されている参考文献 [1] や関連論文を読み進めるための手助けになれば幸いです. なお, 本講義の内容の一部は参考文献 [2] に詳述されています. 演習問題は数学的なものを中心に, 時間が許せばプログラミングの問題も用意する予定です.
• 参考文献
1. P.-A. Absil, R. Mahony, and R. Sepulchre, Optimization Algorithms on Matrix Manifolds, Princeton University Press, 2008.
2. H. Sato, Riemannian Optimization and Its Applications, Springer, 2021.
• 資料: TBA

一般参加者同士の交流のきっかけを作るという意図の下, 参加者のうち希望者に短い発表 (5 分程度を想定) をしていただきます. 発表時間や具体的な実施方法は発表者数が確定してから決定しますが, 発表の後にブレイクアウトルームに分かれるなどして議論をする時間を作ろうと思っています.

都合により中止となりました. そのかわり 1 日目にも懇親会を開催します.

8/23

• 13:00--13:05 オープニング
• 13:05--14:05 不動点理論と最適化 講義 (ヒルベルト空間 (定義や例), 不動点近似法の証明でよく使う不等式)
• 14:15--15:15 不動点理論と最適化 講義 (不動点, 非拡大写像 (例), 最適化との関係)
• 15:25--16:25 不動点理論と最適化 講義 (不動点近似法 (Krasnosel’skiĭ--Mann, Halpern 不動点近似法), 最近の研究動向)
• 16:35--17:05 不動点理論と最適化 演習 (数学とプログラミングの問題)
• 18:00--20:00 懇親会 (オンライン)

8/24

• 10:00--10:30 不動点理論と最適化 演習 (数学とプログラミングの問題)
• 10:40--11:40 不動点理論と最適化 演習の発表・解説および総括
• 11:40--13:00 休憩
• 13:00--14:00 リーマン多様体上の最適化理論とその周辺 講義 (位相空間とリーマン多様体 (定義や例), リーマン多様体上の最適化問題の例)
• 14:10--15:10 リーマン多様体上の最適化理論とその周辺 講義 (リーマン多様体上の最適化アルゴリズムで用いられる写像, 最急降下法の大域的収束性)
• 15:20--16:20 リーマン多様体上の最適化理論とその周辺 講義 (リーマン多様体上の共役勾配法とその性質, 最新の研究動向)
• 16:30--17:00 リーマン多様体上の最適化理論とその周辺 演習 (数学とプログラミングの問題)
• 18:00--20:00 懇親会 (オンライン)

8/25

• 10:00--10:30 リーマン多様体上の最適化理論とその周辺 演習 (数学とプログラミングの問題)
• 10:40--11:40 リーマン多様体上の最適化理論とその周辺 演習の発表・解説および総括
• 11:40--11:45 クロージング

• 参加申込: こちらからお願いします.
• 締切: 8/6 23:59
• ライトニングトークでの発表申込: 上記とは別にこちらからお願いします.
• 締切: 7/26 23:59
• いずれも定員に達した場合は締切より早く受付を終了する場合があります. また, 申込完了後に確認のメールが届きますのでご確認下さい. 確認のメールが届かない場合はお問い合わせ下さい.

• 田中未来 (統計数理研究所, 代表)
• 成島康史 (慶應義塾大学)
• 檀寛成 (関西大学)

• 統計数理研究所 統計思考院
• RIMS 共同研究「組合せ最適化セミナー」 (第 18 回)