2.1 이론적 배경 및 수학적 모델
본 연구에서 개발한 FVM 기반 2차원 축열조 모델 내 열에너지의 크기는 열원 및 부하측과 주변으로부터 흡수 및 방출된 열에너지에 의해 결정되며,
열전달의 네 가지 주요 메커니즘인 전도, 대류, 복사, 그리고 혼합에 기반하여 이루어지며, 체적요소의 비정상 열전달 해석은 Fig. 1과 같다.
노드간 열전달 과정에서 유체의 질량과 운동량, 에너지는 보존되며 직교좌표계에서 체적요소에 대한 비정상 유한차분식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(1)
$q_{condv}^{adj}+q_{mixing}^{adj}+q_{coil}^{adj}+q_{env}^{adj}=\rho_{w}\triangle
x\triangle y\triangle z C_{p,\: w}\dfrac{T_{i,\: j}^{t+1}+T_{i,\: j}^{t}}{\triangle
t}$
여기서, $adj$는 인접한 노드와의 관계, $q_{condv}$는 전도와 대류에 의한 열전달, $q_{mixing}$은 혼합에 의한 열전달, $q_{coil}$은
코일튜브에 의한 열전달, $q_{env}$는 외피 열전달, $\rho_{w}$은 물의 비중, $x,\: y,\: z$는 절점 사이의 방향 및 크기,
$C_{p,\: w}$는 물의 비열, $i$와 $j$는 직교좌표계에서 내부 절점의 위치, 그리고 $t$는 시간단계를 나타낸다.
2.1.1 노드간 열전달
노드간 열전달은 크게 전도, 대류, 혼합으로 구분된다. 일반적으로 대류열전달계수는 유동에 의한 강제대류도 함께 고려해야 하지만, 축열조 모델의 경우
노드간 고체가 존재하지 않기에, 유체 혼합에 의한 열전달이 유동에 의한 강제대류보다 지배적이다. 따라서 대류열전달계수는 부력에 의한 대류 열전달만을
고려하였으며, 전도와 대류에 의한 노드간 열저항($R_{node}$)은 다음과 같이 계산된다.
(2)
$R_{node}=\dfrac{1}{h_{buoyancy}^{adj}}+\dfrac{L_{internode}}{k_{w}}+\dfrac{1}{h_{buoyancy}^{i,\:
j}}$
여기서, $h_{buoancy}$는 부력에 의한 대류열전달계수, $L_{internode}$는 노드간 간격, 그리고 $k_{w}$는 물의 열전도도이다.
수직한 노드간 부력에 의한 대류열전달계수는 아래층 노드가 높은 층 노드보다 온도가 높을 경우 발생되고, 수평한 노드에서는 노드간 면적의 크기에 비례하여
대류열전달계수의 크기가 결정된다. 관측노드와 인접노드의 대류열전달계수는 동일한 값을 갖고, 대류열전달계수는 다음과 같이 계산된다:
(3)
$h_{buoyancy}=\dfrac{k_{w}}{L_{c}}N u_{i,\: j}$
(4)
$L_{c}=\dfrac{A_{internode}}{2\pi r_{TES}}$
여기서 $L_{c}$는 체적요소의 수력직경, $Nu$는 누셀트 수, 그리고 $r_{TES}$는 축열조의 반경이다.
혼합에 의한 노드간 열전달은 온도차와 유량에 의해 다음과 같이 계산된다:
(5)
$q_{mixing}^{adj}=C_{p,\: w}\left[\dot{m}_{mi,\: j}\left(T_{mi,\: j}-T_{i,\:
j}\right)+\dot{m}_{pi,\: j}\left(T_{pi,\: j}-T_{i,\: j}\right)+\dot{m}_{i,\: mj}\left(T_{i,\:
mj}-T_{i,\: j}\right)+\dot{m}_{i,\: pj}\left(T_{i,\: pj}-T_{i,\: j}\right)\right]$
여기서, $\dot{m}$은 노드간 유량, 그리고 $mi,\: pi,\: mj,\: pj$는 내부 절점을 중심으로 하는 체적 요소의 네 방향(왼쪽,
오른쪽, 아래, 위)을 나타낸다.
2.1.2 코일튜브에 의한 열전달
코일 튜브 열저항($R_{IHX}$)은 내외부 물의 흐름에 의한 대류와 코일의 전도도에 의해 다음과 같이 계산된다:
(6)
$R_{IHX}=\dfrac{1}{h_{coil,\: in}^{i,\: j}A_{coil,\: in}^{i,\: j}}+\dfrac{\ln\left(d_{coil,\:
out}/d_{coil,\: in}\right)}{2\pi L_{coil}^{i,\: j}k_{coil}}+\dfrac{1}{h_{coil,\: out}^{i,\:
j}A_{coil,\: out}^{i,\: j}}$
여기서, $h_{coil,\: in}$와 $h_{coil,\: out}$은 코일 안팎의 대류열전달계수, $A_{coil,\: in}$와 $A_{coil,\:
out}$는 코일 안팎의 면적, $d_{coil,\: in}$와 $d_{coil,\: out}$은 코일의 외경 및 내경, $k_{coil}$는 코일의
열전도도, 그리고 $L_{coil}$은 코일의 길이를 나타낸다.
2.1.3 외피 열전달
외피 열전달은 전도, 대류, 복사가 함께 고려되어 계산된다. 특히 외피 외부의 공기의 물성은 공기와 축열조 저장유체의 평균온도인 막온도(Film temperature)에
의해 결정되며, 외피 면의 위치(최상단면, 옆면, 최하단면)에 따라 누셀트 수가 다르게 계산된다. 최종적으로 외피 열저항($R_{env}$)은 다음과
같이 계산된다:
(7)
$R_{env}=\dfrac{1}{h_{TES,\: in}^{i,\: j}}+\dfrac{\lambda_{insulation}}{k_{insulation}}+\dfrac{1}{h_{TES,\:
out}^{i,\: j}}$
여기서, $h_{TESl,\: in}$와 $h_{TES,\: out}$은 외피 안팎의 대류열전달계수, $\lambda_{insulation}$은 외피
두께, 그리고 $k_{insulation}$는 외피의 열전도도를 나타낸다.
2.2 수치 해석 절차
이 연구에서는 향후 신경망모델과 수치모델의 연계 가능성을 높이기 위해, Matlab과 Python을 이용하여 축열조 모델링을 수행하였다. 축열조 모델
개발에 사용된 수식은 안정적이지 않으며, 시간 단계의 최대 허용 범위는 안정성 기준에 의해 제한된다. 따라서 유한차분식의 정확도와 안정성을 확보하기
위해, 무차원 격자 Fourier 수를 기준으로 시간 단계의 최대 허용 범위와 노드 수를 결정했다. 그 결과 시간 간격은 2초, x축과 z축 노드
수는 각각 6과 10으로 설정되었다. 축열조의 수치 모델의 노드 중심점은 사용자가 지정한 수평 및 수직 노드 수에 따라 질량 중심으로 설정된다. 또한,
코일 튜브의 길이, 높이, 회전 수, 피치, 관경 등의 정보를 바탕으로 각 노드에서 열교환기의 비중이 정해진다.
다중열원 설비는 PVT와 ASHP를 이용한다고 가정하였으며, PVT는 난방운전에서만 이용된다. ASHP는 순환수를 축열조에 직접 출입하는 방식으로
축열하여, FCU에 열에너지를 공급하는 것으로 가정하였다. 가정된 시스템 계통도는 Fig. 2와 같다.
난방운전에서 ASHP의 입·출구는 z축 2, 9 노드, FCU는 9, 2 노드, 그리고 PVT는 4, 7 노드에 와 연결되어 있으며, 냉방운전은 난방운전과
반대로 설정하였다. 시스템 유량은 50 LPM으로 고정되고, 운전 시나리오별 설비용량은 열원 사용 방식에 따라 나뉘어 Table 1에 설명되어 있다.
이 연구에서는 1차원 TES 모델과 2차원 TES 모델의 비교를 통해 열전달 특성을 분석했다. 1차원 모델은 TRNSYS에서 TES 내부에 코일형
열교환기가 포함되어 있는 type 534를 사용하였으며, 본 연구에서 개발된 2차원 TES 모델과의 주요 차이점은 열전달 방향이다. 1차원 모델은
종 방향의 열전달을 고려하는 반면, 2차원 모델은 횡 방향도 고려할 수 있다.
TES 모델의 구조적 특성을 살펴보면, 모델의 반경은 0.3 m, 높이는 1.06 m이며, 단열재의 두께는 0.06 m이다. 난방과 냉방을 위한 외피
및 열원 온도는 디리클레 경계조건을 통해 5°C와 25°C로 설정되었다. 내부에 설치된 열교환기는 코일 형태로, 이 코일의 구체적인 사양은 다음과 같다:
반경 0.075미터, 열전도도 0.035 W/(m·K), 피치 0.03 m, 길이 10 m, 내경 0.04 m, 외경 0.048 m, 그리고 코일
튜브를 고정시키는 hang의 길이는 0.05 m이다.
제어 로직은 설정온도와 데드밴드를 Table 2에 명시하였으며, 관측 노드 지점은 축열조의 정중앙에 위치하고 있다. 이러한 구조적 및 운용 특성을 고려하여 모델의 효율성과 정확성을 평가하였다.
Table 1 Capacity of equipment by operation scenario
Table 2 Set temperature parameters of control logic
ASHP
Heat storage
Operation constraints
Ts1,outlet < 50°C
Setpoint/deadband
45/±2°C
Cold storage
Operation constraints
Ts1,outlet > 5°C
Setpoint/deadband
10/±2°C
PVT
Heat storage
Operation constraints
Ts2,outlet < 70°C
Setpoint/deadband
45/±2°C
FCU
Heating
Operation constraints
Tl,outlet > 40°C
Setpoint/deadband
45/±2°C
Cooling
Operation constraints
Tl,outlet < 15°C
Setpoint/deadband
10/±2°C
2.3 수치모델 타당성 검토
수치모델의 타당성을 검증하기 위해서, 모델 예측 결과와 실제 사이트에서 측정된 결과를 비교 분석했다. 이 비교는 TES 내부 온도를 측정한 센서 데이터를
활용했다. TES 모델의 검증은 네 가지 상태에서 수행되었다: 순환수가 TES로 직접 유입 및 배출되는 상태, 내부 코일 튜브에서 순환수가 유입 및
배출되는 상태, 순환수가 TES와 코일 튜브에 동시에 들어가고 나가는 상태, 그리고 유량이 없는 상태이다.
측정 데이터는 15분 간격으로 처리되었으며, 이 기간 동안 TES가 동일한 상태를 유지할 경우, 15분과 6분 측정 온도 간의 변화율을 수집했다.
검증 방법으로는 평균 오차율(Symmetric mean absolute percentage error, $s MAPE$)이 사용했다. 온도 변화율($\vartheta$)과
$s MAPE$는 각각 다음과 같이 계산된다:
(8)
$\vartheta =\dfrac{T_{t}-T_{t-10}}{T_{t-10}}\times 100$
(9)
$s MAPE=\dfrac{100}{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\left |\vartheta_{pred}-\vartheta_{real}\right
|}{\left(\left |\vartheta_{pred}\right | +\left |\vartheta_{real}\right |\right)/2}$
여기서, $T_{t}$는 TES 내부 센서가 위치한 노드의 실제 및 예측 온도이다.
이 연구를 통해, 1차원 모델의 평균 오차율은 35%, 2차원 모델의 평균 오차율은 2.05%로 나타났다. 이 결과는 2차원 모델이 더 정확한 예측을
제공함을 시사한다.