30992번 - 결혼식이 끝나고

문제

설영이는 결혼식에 참석한 $m$명의 하객들에게 케이크를 나누어 주려고 한다. 모든 하객은 케이크를 한 조각씩 받고, 모든 조각의 부피는 같아야 한다.

처음에 케이크는 단 한 덩어리 존재하고, 그 모양은 함수 $y=f(x)$ $(x_1 \leq x \leq x_n)$의 그래프와 두 직선 $x = x_1,ドル $x = x_n,ドル 그리고 $x$축으로 둘러싸인 부분을 $x$축에 대해 회전시켜 얻은 도형이다. 함수 $y=f(x)$의 그래프는 각 점 $(x_1, y_1),ドル $(x_2, y_2),ドル $\cdots,ドル $(x_n, y_n)$을 이 순서대로 선분으로 이어 구할 수 있다. 이때 $y_i > 0 (1 \leq i \leq n)$이다. 케이크를 최대한 예쁜 모양으로 자르기 위해, 설영이는 케이크를 항상 회전축에 수직인 평면을 따라 자른다. 또한 $m$명의 하객에게 케이크를 나누어 주어야 하므로 자르는 횟수는 $m-1$번이어야 한다. 이 조건을 만족하면서 케이크를 자르는 방법이 유일함을 증명할 수 있다.

케이크를 자를 때 드는 힘은 잘린 부분의 단면적에 비례한다. 만약 케이크를 잘랐을 때 넓이가 $A\pi$인 단면적이 생겼다면, 이때 든 힘은 $A$이다. 케이크를 $m-1$번 자르면서 사용한 힘 $F_1, F_2, \cdots, F_{m-1}$의 평균 $\displaystyle{\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m-1} F_i}$의 값을 $\overline{F}(m)$이라 할 때,

$$F = \lim_{m\rightarrow\infty} \overline{F}(m)$$

의 값을 구하라.

입력

첫 번째 줄에 정수 $n$이 주어진다.

두 번째 줄에 $n$개의 정수 $x_1, x_2, \cdots, x_n$이 공백으로 구분되어 주어진다.

세 번째 줄에 $n$개의 정수 $y_1, y_2, \cdots, y_n$이 공백으로 구분되어 주어진다.

이는 케이크의 모양을 결정하는 함수 $f(x)$의 그래프 $y=f(x)$는 각 점 $(x_1, y_1),ドル $(x_2, y_2),ドル $\cdots,ドル $(x_n, y_n)$을 이 순서대로 선분으로 이어 구할 수 있다는 것을 의미한다.

출력

첫 번째 줄에 $F$의 기약분수 형태가 $\displaystyle{F = \frac{p}{q}}$일 때, $p \times q^{998,244円,351円} \mod 998,244円,353円$의 값을 출력한다. 998ドル,244円,353円$은 소수이다. $F$가 항상 유리수임을 증명할 수 있다.

제한

• 2ドル \leq n \leq 300,000円$
• 0ドル \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_n \leq 10^7$
• 1ドル \leq y_i \leq 10^7$

힌트