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[pull] master from labuladong:master #46

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pull merged 2 commits into AlgorithmAndLeetCode:master from labuladong:master
Jan 6, 2023
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6 changes: 3 additions & 3 deletions 动态规划系列/LCS.md
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![](https://labuladong.github.io/algo/images/souyisou1.png)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/souyisou1.png)

**通知:[数据结构精品课](https://aep.h5.xeknow.com/s/1XJHEO) 已更新到 V2.1,[手把手刷二叉树系列课程](https://aep.xet.tech/s/3YGcq3) 上线。过年前最后一期打卡挑战即将开始,[点这里报名](https://aep.xet.tech/s/1a9ByX)。另外,建议你在我的 [网站](https://labuladong.github.io/algo/) 学习文章,体验更好。**
**通知:[数据结构精品课](https://aep.h5.xeknow.com/s/1XJHEO) 已更新到 V2.1,[手把手刷二叉树系列课程](https://aep.xet.tech/s/3YGcq3) 上线。另外,建议你在我的 [网站](https://labuladong.github.io/algo/) 学习文章,体验更好。**



Expand Down Expand Up @@ -81,4 +81,4 @@ int longestCommonSubsequence(String s1, String s2);

应合作方要求,本文不便在此发布,请扫码关注回复关键词「LCS」或 [点这里](https://appktavsiei5995.pc.xiaoe-tech.com/detail/i_6298793ae4b09dda12708be8/1) 查看:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/qrcode.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/qrcode.jpg)
54 changes: 27 additions & 27 deletions 动态规划系列/动态规划之KMP字符匹配算法.md
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Expand Up @@ -7,9 +7,9 @@
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![](https://labuladong.github.io/algo/images/souyisou1.png)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/souyisou1.png)

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Expand Down Expand Up @@ -64,17 +64,17 @@ int search(String pat, String txt) {

比如 `txt = "aaacaaab", pat = "aaab"`:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/1.gif)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/1.gif)

很明显,`pat` 中根本没有字符 c,根本没必要回退指针 `i`,暴力解法明显多做了很多不必要的操作。

KMP 算法的不同之处在于,它会花费空间来记录一些信息,在上述情况中就会显得很聪明:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/2.gif)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/2.gif)

再比如类似的 `txt = "aaaaaaab", pat = "aaab"`,暴力解法还会和上面那个例子一样蠢蠢地回退指针 `i`,而 KMP 算法又会耍聪明:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/3.gif)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/3.gif)

因为 KMP 算法知道字符 b 之前的字符 a 都是匹配的,所以每次只需要比较字符 b 是否被匹配就行了。

Expand All @@ -97,21 +97,21 @@ pat = "aaab"

只不过对于 `txt1` 的下面这个即将出现的未匹配情况:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/txt1.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/txt1.jpg)

`dp` 数组指示 `pat` 这样移动:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/txt2.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/txt2.jpg)

> PS:这个`j` 不要理解为索引,它的含义更准确地说应该是**状态**(state),所以它会出现这个奇怪的位置,后文会详述。

而对于 `txt2` 的下面这个即将出现的未匹配情况:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/txt3.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/txt3.jpg)

`dp` 数组指示 `pat` 这样移动:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/txt4.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/txt4.jpg)

明白了 `dp` 数组只和 `pat` 有关,那么我们这样设计 KMP 算法就会比较漂亮:

Expand Down Expand Up @@ -145,45 +145,45 @@ int pos2 = kmp.search("aaaaaaab"); //4

为什么说 KMP 算法和状态机有关呢?是这样的,我们可以认为 `pat` 的匹配就是状态的转移。比如当 pat = "ABABC":

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/state.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/state.jpg)

如上图,圆圈内的数字就是状态,状态 0 是起始状态,状态 5(`pat.length`)是终止状态。开始匹配时 `pat` 处于起始状态,一旦转移到终止状态,就说明在 `txt` 中找到了 `pat`。比如说当前处于状态 2,就说明字符 "AB" 被匹配:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/state2.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/state2.jpg)

另外,处于不同状态时,`pat` 状态转移的行为也不同。比如说假设现在匹配到了状态 4,如果遇到字符 A 就应该转移到状态 3,遇到字符 C 就应该转移到状态 5,如果遇到字符 B 就应该转移到状态 0:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/state4.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/state4.jpg)

具体什么意思呢,我们来一个个举例看看。用变量 `j` 表示指向当前状态的指针,当前 `pat` 匹配到了状态 4:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/exp1.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/exp1.jpg)

如果遇到了字符 "A",根据箭头指示,转移到状态 3 是最聪明的:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/exp3.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/exp3.jpg)

如果遇到了字符 "B",根据箭头指示,只能转移到状态 0(一夜回到解放前):

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/exp5.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/exp5.jpg)

如果遇到了字符 "C",根据箭头指示,应该转移到终止状态 5,这也就意味着匹配完成:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/exp7.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/exp7.jpg)

当然了,还可能遇到其他字符,比如 Z,但是显然应该转移到起始状态 0,因为 `pat` 中根本都没有字符 Z:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/z.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/z.jpg)

这里为了清晰起见,我们画状态图时就把其他字符转移到状态 0 的箭头省略,只画 `pat` 中出现的字符的状态转移:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/allstate.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/allstate.jpg)

KMP 算法最关键的步骤就是构造这个状态转移图。**要确定状态转移的行为,得明确两个变量,一个是当前的匹配状态,另一个是遇到的字符**;确定了这两个变量后,就可以知道这个情况下应该转移到哪个状态。

下面看一下 KMP 算法根据这幅状态转移图匹配字符串 `txt` 的过程:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/kmp.gif)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/kmp.gif)

**请记住这个 GIF 的匹配过程,这就是 KMP 算法的核心逻辑**!

Expand Down Expand Up @@ -238,29 +238,29 @@ for 0 <= j < M: # 状态

这个 next 状态应该怎么求呢?显然,**如果遇到的字符 `c` 和 `pat[j]` 匹配的话**,状态就应该向前推进一个,也就是说 `next = j + 1`,我们不妨称这种情况为**状态推进**:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/forward.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/forward.jpg)

**如果字符 `c` 和 `pat[j]` 不匹配的话**,状态就要回退(或者原地不动),我们不妨称这种情况为**状态重启**:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/back.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/back.jpg)

那么,如何得知在哪个状态重启呢?解答这个问题之前,我们再定义一个名字:**影子状态**(我编的名字),用变量 `X` 表示。**所谓影子状态,就是和当前状态具有相同的前缀**。比如下面这种情况:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/shadow.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/shadow.jpg)

当前状态 `j = 4`,其影子状态为 `X = 2`,它们都有相同的前缀 "AB"。因为状态 `X` 和状态 `j` 存在相同的前缀,所以当状态 `j` 准备进行状态重启的时候(遇到的字符 `c` 和 `pat[j]` 不匹配),可以通过 `X` 的状态转移图来获得**最近的重启位置**。

比如说刚才的情况,如果状态 `j` 遇到一个字符 "A",应该转移到哪里呢?首先只有遇到 "C" 才能推进状态,遇到 "A" 显然只能进行状态重启。**状态 `j` 会把这个字符委托给状态 `X` 处理,也就是 `dp[j]['A'] = dp[X]['A']`**:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/shadow1.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/shadow1.jpg)

为什么这样可以呢?因为:既然 `j` 这边已经确定字符 "A" 无法推进状态,**只能回退**,而且 KMP 就是要**尽可能少的回退**,以免多余的计算。那么 `j` 就可以去问问和自己具有相同前缀的 `X`,如果 `X` 遇见 "A" 可以进行「状态推进」,那就转移过去,因为这样回退最少。

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/A.gif)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/A.gif)

当然,如果遇到的字符是 "B",状态 `X` 也不能进行「状态推进」,只能回退,`j` 只要跟着 `X` 指引的方向回退就行了:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/shadow2.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/shadow2.jpg)

你也许会问,这个 `X` 怎么知道遇到字符 "B" 要回退到状态 0 呢?因为 `X` 永远跟在 `j` 的身后,状态 `X` 如何转移,在之前就已经算出来了。动态规划算法不就是利用过去的结果解决现在的问题吗?

Expand Down Expand Up @@ -354,7 +354,7 @@ for (int i = 0; i < N; i++) {

下面来看一下状态转移图的完整构造过程,你就能理解状态 `X` 作用之精妙了:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/kmp/dfa.gif)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/kmp/dfa.gif)

至此,KMP 算法的核心终于写完啦啦啦啦!看下 KMP 算法的完整代码吧:

Expand Down Expand Up @@ -440,7 +440,7 @@ KMP 算法也就是动态规划那点事,我们的公众号文章目录有一

**《labuladong 的算法小抄》已经出版,关注公众号查看详情;后台回复关键词「**进群**」可加入算法群;回复「**全家桶**」可下载配套 PDF 和刷题全家桶**:

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======其他语言代码======
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Expand All @@ -36,7 +36,7 @@

这样推广之后就变成了一道难度比较高的动态规划问题了,力扣第 486 题「预测赢家」就是一道类似的问题:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/博弈问题/title.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/博弈问题/title.jpg)

函数签名如下:

Expand All @@ -63,7 +63,7 @@ public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {

介绍 `dp` 数组的含义之前,我们先看一下 `dp` 数组最终的样子:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/博弈问题/1.png)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/博弈问题/1.png)

下文讲解时,认为元组是包含 `first` 和 `second` 属性的一个类,而且为了节省篇幅,将这两个属性简写为 `fir` 和 `sec`。比如按上图的数据,我们说 `dp[1][3].fir = 11`,`dp[0][1].sec = 2`。

Expand Down Expand Up @@ -141,11 +141,11 @@ dp[i][j].sec = 0
# 后手没有石头拿了,得分为 0
```

![](https://labuladong.github.io/algo/images/博弈问题/2.png)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/博弈问题/2.png)

这里需要注意一点,我们发现 base case 是斜着的,而且我们推算 `dp[i][j]` 时需要用到 `dp[i+1][j]` 和 `dp[i][j-1]`:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/博弈问题/3.png)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/博弈问题/3.png)

根据前文 [动态规划答疑篇](https://labuladong.github.io/article/fname.html?fname=最优子结构) 判断 `dp` 数组遍历方向的原则,算法应该倒着遍历 `dp` 数组:

Expand All @@ -157,7 +157,7 @@ for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
}
```

![](https://labuladong.github.io/algo/images/博弈问题/4.png)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/博弈问题/4.png)

### 三、代码实现

Expand Down Expand Up @@ -242,7 +242,7 @@ int stoneGame(int[] piles) {

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Expand Down Expand Up @@ -190,7 +190,7 @@ public int maxA(int N) {

其中 `j` 变量减 2 是给 `C-A C-C` 留下操作数,看个图就明白了:

![](https://labuladong.github.io/algo/images/4keyboard/1.jpg)
![](https://labuladong.gitee.io/pictures/4keyboard/1.jpg)

这样,此算法就完成了,时间复杂度 O(N^2),空间复杂度 O(N),这种解法应该是比较高效的了。

Expand Down Expand Up @@ -232,7 +232,7 @@ def dp(n, a_num, copy):

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Expand Down Expand Up @@ -145,7 +145,7 @@ bool dp(string& s, int i, string& p, int j);

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