Mar 22, 2023 · Mar 21, 2023 · Mar 21, 2023 · Mar 21, 2023 · Mar 21, 2023 · Mar 21, 2023
diff --git a/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/02.Knapsack-Problem-02.md b/Contents/10.Dynamic-Programming/04.Knapsack-Problem/02.Knapsack-Problem-02.md
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Expand Up		@@ -8,7 +8,7 @@

		> 完全背包问题的特点:每种物品有无限件。

	我们可以参考「0-1 背包问题」的状态定义和基本思路。
	我们可以参考「0-1 背包问题」的状态定义和基本思路,对于容量为 $w$ 的背包,最多可以装 $\frac{w}{weight[i - 1]}$ 件第 $i - 1$ 件物品。那么我们可以多加一层循环,枚举第 $i - 1$ 件物品可以选择的件数(0ドル \sim \frac{w}{weight[i - 1]}$),从而将「完全背包问题」转换为「0-1 背包问题」。

		#### 思路 1:动态规划

Expand Down Expand Up		@@ -61,8 +61,8 @@ class Solution:
		for w in range(1, W + 1):
		# 枚举第 i 种物品能取个数
		for k in range(w // weight[i - 1] + 1):
	# dp[i][w] 取所有 dp[i][w - k * weight[i - 1] + k * value[i - 1] 中最大值
	dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i][w - k * weight[i - 1]] + k * value[i - 1])
	# dp[i][w] 取所有 dp[i - 1][w - k * weight[i - 1] + k * value[i - 1] 中最大值
	dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i - 1][w - k * weight[i - 1]] + k * value[i - 1])

		return dp[size][W]
		```
Expand All		@@ -72,7 +72,7 @@ class Solution:
		- 时间复杂度:$O(n \times W \times \sum\frac{W}{weight[i]}),ドル其中 $n$ 为物品种类数量,$W$ 为背包的载重上限,$weight[i]$ 是第 $i$ 种物品的重量。
		- 空间复杂度:$O(n \times W)$。

	### 3.2 完全背包问题简单优化
	### 3.2 完全背包问题状态转移方程优化

		上之前的思路中,对于每种物品而言,每次我们都需要枚举所有可行的物品数目 $k,ドル这就大大增加了时间复杂度。

Expand Down Expand Up		@@ -107,7 +107,14 @@ $(3) \quad dp[i][w] = max \lbrace dp[i - 1][w], \quad dp[i][w - weight[i - 1]] +

		$\quad dp[i][w] = \begin{cases} dp[i - 1][w] & w < weight[i - 1] \cr max \lbrace dp[i - 1][w], \quad dp[i][w - weight[i - 1]] + value[i - 1] \rbrace & w \ge weight[i - 1] \end{cases}$

	#### 思路 2:动态规划 + 简单优化
	从上述状态转移方程我们可以看出:该式子与 0-1 背包问题中「思路 1」的状态转移式极其相似。

	> 唯一区别点在于:
	>
	> 1. 0-1 背包问题中状态为 $dp[i - 1][w - weight[i - 1]] + value[i - 1],ドル这是第 $i - 1$ 阶段上的状态值。
	> 2. 完全背包问题中状态为 $dp[i][w - weight[i - 1]] + value[i - 1],ドル这是第 $i$ 阶段上的状态值。

	#### 思路 2:动态规划 + 状态转移方程优化

		###### 1. 划分阶段

Expand Down Expand Up		@@ -170,13 +177,6 @@ $dp[i][w] = \begin{cases} dp[i - 1][w] & w < weight[i - 1] \cr max \lbrace dp[i

		所以我们没必要保存所有阶段的状态,只需要使用一个一维数组 $dp[w]$ 保存上一阶段的所有状态,采用使用「滚动数组」的方式对空间进行优化(去掉动态规划状态的第一维)。

	从上述状态转移方程我们还可以看出:该式子与 0-1 背包问题中「思路 1」的状态转移式极其相似。

	> 唯一区别点在于:
	>
	> 1. 0-1 背包问题中状态为 $dp[i - 1][w - weight[i - 1]] + value[i - 1],ドル这是第 $i - 1$ 阶段上的状态值。
	> 2. 完全背包问题中状态为 $dp[i][w - weight[i - 1]] + value[i - 1],ドル这是第 $i$ 阶段上的状态值。

		#### 思路 3:动态规划 + 滚动数组优化

		###### 1. 划分阶段
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