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[pull] main from itcharge:main #64

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pull merged 9 commits into AlgorithmAndLeetCode:main from itcharge:main
Mar 11, 2023
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3 changes: 2 additions & 1 deletion .gitignore
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Expand Up @@ -130,4 +130,5 @@ dmypy.json

# Custom
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.idea
.idea
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Expand Up @@ -167,13 +167,19 @@ def recursion(大规模问题):

### 4.2 避免重复运算

在使用递归算法时,还可能会出现重复运算的问题。比如斐波那契数列的定义是:`f(1) = 1, f(2) = 2, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)`。对应的递推过程如下图所示:
在使用递归算法时,还可能会出现重复运算的问题。

![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220408142726.png)
比如斐波那契数列的定义是:

从图中,我们可以看到:想要计算 `f(5)`,需要先计算 `f(4)` 和 `f(3)`,而在计算 `f(4)` 时还需要计算 `f(3)`。这样 `f(3)` 就进行了多次计算,这就是重复计算问题。
$f(n) = \begin{cases} 0 & n = 0 \cr 1 & n = 1 \cr f(n - 2) + f(n - 1) & n > 1 \end{cases}$

为了避免重复计算,我们可以使用哈希表、集合、列表等结构来保存已经求解过的 `f(k)` 的结果。当递归调用用到 `f(k)` 时,先查看一下之前是否已经计算过结果,如果已经计算过,则直接从对应结构中取值返回,而不用再递推下去,这样就避免了重复计算问题。
其对应的递归过程如下图所示:

![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20230307164107.png)

从图中可以看出:想要计算 $f(5),ドル需要先计算 $f(3)$ 和 $f(4),ドル而在计算 $f(4)$ 时还需要计算 $f(3),ドル这样 $f(3)$ 就进行了多次计算。同理 $f(0)$、$f(1)$、$f(2)$ 都进行了多次计算,就导致了重复计算问题。

为了避免重复计算,我们可以使用一个缓存(哈希表、集合或数组)来保存已经求解过的 $f(k)$ 的结果,这也是动态规划算法中的做法。当递归调用用到 $f(k)$ 时,先查看一下之前是否已经计算过结果,如果已经计算过,则直接从缓存中取值返回,而不用再递推下去,这样就避免了重复计算问题。

## 5. 递归的应用

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Expand Up @@ -8,17 +8,15 @@

换句话说,贪心算法不从整体最优上加以考虑,而是一步一步进行,每一步只以当前情况为基础,根据某个优化测度做出局部最优选择,从而省去了为找到最优解要穷举所有可能所必须耗费的大量时间。

对许多问题来说,可以使用贪心算法,通过局部最优解而得到整体最优解或者是整体最优解的近似解。
### 1.2 贪心算法的特征

但并不是所有问题,都可以使用贪心算法的。
对许多问题来说,可以使用贪心算法,通过局部最优解而得到整体最优解或者是整体最优解的近似解。但并不是所有问题,都可以使用贪心算法的。

一般来说,这些能够使用贪心算法解决的问题必须满足下面的两个特征:

1. **贪心选择性质**
2. **最优子结构**

### 1.2 贪心算法的特征

#### 1.2.1 贪心选择性质

> **贪心选择**:指的是一个问题的全局最优解可以通过一系列局部最优解(贪心选择)来得到。
Expand Down
24 changes: 12 additions & 12 deletions Contents/09.Algorithm-Base/06.Bit-Operation/01.Bit-Operation.md
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Expand Up @@ -56,14 +56,14 @@ $\begin{aligned} 106 \div 2 = 53 & \text{(余 0)} \cr 53 \div 2 = 26 & \text

我们先来看下这 6ドル$ 种位运算的规则,再来进行详细讲解。

| 运算符 | 描述 | 规则 |
| ------ | -------------- | ------------------------------------------------------------ |
| `&` | 按位与运算符 | 只有对应的两个二进位都为 1ドル$ 时,结果位才为 1ドル$。 |
| `|` | 按位或运算符 | 只要对应的两个二进位有一个为 1ドル$ 时,结果位就为 1ドル$。 |
| `^` | 按位异或运算符 | 对应的两个二进位相异时,结果位为 1ドル,ドル二进位相同时则结果位为 0ドル$。 |
| `~` | 取反运算符 | 对二进制数的每个二进位取反,使数字 1ドル$ 变为 0ドル,ドル0ドル$ 变为 1ドル$。 |
| `<<` | 左移运算符 | 将二进制数的各个二进位全部左移若干位。`<<` 右侧数字指定了移动位数,高位丢弃,低位补 0ドル$。 |
| `>>` | 右移运算符 | 对二进制数的各个二进位全部右移若干位。`>>` 右侧数字指定了移动位数,低位丢弃,高位补 0ドル$。 |
| 运算符 | 描述 | 规则 |
| ------------------- | -------------- | ------------------------------------------------------------ |
| `&` | 按位与运算符 | 只有对应的两个二进位都为 1ドル$ 时,结果位才为 1ドル$。 |
| <code>&#124;</code> | 按位或运算符 | 只要对应的两个二进位有一个为 1ドル$ 时,结果位就为 1ドル$。 |
| `^` | 按位异或运算符 | 对应的两个二进位相异时,结果位为 1ドル,ドル二进位相同时则结果位为 0ドル$。 |
| `~` | 取反运算符 | 对二进制数的每个二进位取反,使数字 1ドル$ 变为 0ドル,ドル0ドル$ 变为 1ドル$。 |
| `<<` | 左移运算符 | 将二进制数的各个二进位全部左移若干位。`<<` 右侧数字指定了移动位数,高位丢弃,低位补 0ドル$。 |
| `>>` | 右移运算符 | 对二进制数的各个二进位全部右移若干位。`>>` 右侧数字指定了移动位数,低位丢弃,高位补 0ドル$。 |

### 2.1 按位与运算

Expand Down Expand Up @@ -265,23 +265,23 @@ class Solution:

那么我们就可以用一个长度为 $n$ 的二进制数来表示集合 $S$ 或者表示 $S$ 的子集。其中二进制的每一个二进位都对应了集合中某一个元素的选取状态。对于集合中第 $i$ 个元素来说,二进制对应位置上的 1ドル$ 代表该元素被选取,0ドル$ 代表该元素未被选取。

举个例子,比如长度为 5ドル$ 的集合 $S = \left \{ 5, 4, 3, 2, 1 \right \},ドル我们可以用一个长度为 5ドル$ 的二进制数来表示该集合。
举个例子,比如长度为 5ドル$ 的集合 $S = \lbrace 5, 4, 3, 2, 1 \rbrace,ドル我们可以用一个长度为 5ドル$ 的二进制数来表示该集合。

比如二进制数 11111ドル_{(2)}$ 就表示选取集合的第 1ドル$ 位、第 2ドル$ 位、第 3ドル$ 位、第 4ドル$ 位、第 5ドル$ 位元素,也就是集合 $\left \{ 5, 4, 3, 2, 1 \right \},ドル即集合 $S$ 本身。如下表所示:
比如二进制数 11111ドル_{(2)}$ 就表示选取集合的第 1ドル$ 位、第 2ドル$ 位、第 3ドル$ 位、第 4ドル$ 位、第 5ドル$ 位元素,也就是集合 $\lbrace 5, 4, 3, 2, 1 \rbrace,ドル即集合 $S$ 本身。如下表所示:

| 集合 S 中元素位置 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| :---------------- | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 二进位对应值 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 对应选取状态 | 选取 | 选取 | 选取 | 选取 | 选取 |

再比如二进制数 10101ドル_{(2)}$ 就表示选取集合的第 1ドル$ 位、第 3ドル$ 位、第 5ドル$ 位元素,也就是集合 $\left \{5, 3, 1 \right \}$。如下表所示:
再比如二进制数 10101ドル_{(2)}$ 就表示选取集合的第 1ドル$ 位、第 3ドル$ 位、第 5ドル$ 位元素,也就是集合 $\lbrace 5, 3, 1 \rbrace$。如下表所示:

| 集合 S 中元素位置 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| :---------------- | :--: | :----: | :--: | :----: | :--: |
| 二进位对应值 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 对应选取状态 | 选取 | 未选取 | 选取 | 未选取 | 选取 |

再比如二进制数 01001ドル_{(2)}$ 就表示选取集合的第 1ドル$ 位、第 4ドル$ 位元素,也就是集合 $\left \{4, 1 \right \}$。如下标所示:
再比如二进制数 01001ドル_{(2)}$ 就表示选取集合的第 1ドル$ 位、第 4ドル$ 位元素,也就是集合 $\lbrace 4, 1 \rbrace$。如下标所示:

| 集合 S 中元素位置 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| :---------------- | :----: | :--: | :----: | :----: | :--: |
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