Jul 18, 2023 · Jul 18, 2023 · Jul 18, 2023 · Jul 18, 2023 · Jul 18, 2023
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	# [0834. 树中距离之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-distances-in-tree/)

	- 标签:树、深度优先搜索、图、动态规划
	- 难度:困难

	## 题目大意

	描述:给定一个无向、连通的树。树中有 $n$ 个标记为 0ドル \sim n - 1$ 的节点以及 $n - 1$ 条边。

	给定整数 $n$ 和数组 $edges,ドル其中 $edges[i] = [ai, bi]$ 表示树中的节点 $ai$ 和 $bi$ 之间有一条边。

	要求:返回长度为 $n$ 的数组 $answer,ドル其中 $answer[i]$ 是树中第 $i$ 个节点与所有其他节点之间的距离之和。

	说明:

	- 1ドル \le n \le 3 \times 10^4$。
	- $edges.length == n - 1$。
	- $edges[i].length == 2$。
	- 0ドル \le ai, bi < n$。
	- $ai \ne bi$。
	- 给定的输入保证为有效的树。

	示例:

	- 示例 1:

	![](https://assets.leetcode.com/uploads/2021/07/23/lc-sumdist1.jpg)

	```Python
	输入: n = 6, edges = [[0,1],[0,2],[2,3],[2,4],[2,5]]
	输出: [8,12,6,10,10,10]
	解释: 树如图所示。
	我们可以计算出 dist(0,1) + dist(0,2) + dist(0,3) + dist(0,4) + dist(0,5)
	也就是 1 +たす 1 +たす 2 +たす 2 +たす 2 =わ 8。因此,answer[0] = 8,以此类推。
	```

	- 示例 2:

	![](https://assets.leetcode.com/uploads/2021/07/23/lc-sumdist3.jpg)

	```Python
	输入: n = 2, edges = [[1,0]]
	输出: [1,1]
	```

	## 解题思路

	### 思路 1:树形 DP + 二次遍历换根法

	最容易想到的做法是:枚举 $n$ 个节点,以每个节点为根节点进行树形 DP。

	对于节点 $u,ドル定义 $dp[u]$ 为:以节点 $u$ 为根节点的树,它的所有子节点到它的距离之和。

	然后进行一轮深度优先搜索,在搜索的过程中得到以节点 $v$ 为根节点的树,节点 $v$ 与所有其他子节点之间的距离之和 $dp[v]$。还能得到以节点 $v$ 为子树的子节点个数 $sizes[v]$。

	对于节点 $v$ 来说,其对 $dp[u]$ 的贡献为:节点 $v$ 与所有其他子节点之间的距离之和,再加上需要经过 $u \rightarrow v$ 这条边的节点个数,即 $dp[v] + sizes[v]$。

	可得到状态转移方程为:$dp[u] = \sum_{v \in graph[u]}(dp[v] + sizes[v])$。

	这样,对于 $n$ 个节点来说,需要进行 $n$ 次树形 DP,这种做法的时间复杂度为 $O(n^2),ドル而 $n$ 的范围为 $[1, 3 \times 10^4],ドル这样做会导致超时,因此需要进行优化。

	我们可以使用「二次遍历换根法」进行优化,从而在 $O(n)$ 的时间复杂度内解决这道题。

	第一次遍历:

	### 思路 1:代码

	```Python
	class Solution:
	def sumOfDistancesInTree(self, n: int, edges: List[List[int]]) -> List[int]:
	graph = [[] for _ in range(n)]

	for u, v in edges:
	graph[u].append(v)
	graph[v].append(u)


	ans = [0 for _ in range(n)]

	sizes = [1 for _ in range(n)]
	def dfs(u, fa, depth):
	ans[0] += depth
	for v in graph[u]:
	if v == fa:
	continue
	dfs(v, u, depth + 1)
	sizes[u] += sizes[v]

	def reroot(u, fa):
	for v in graph[u]:
	if v == fa:
	continue
	ans[v] = ans[u] + n - 2 * size[v]
	reroot(v, u)

	dfs(0, -1, 0)
	reroot(0, -1)
	return ans
	```

	### 思路 1:复杂度分析

	- 时间复杂度:$O(n),ドル其中 $n$ 为树的节点个数。
	- 空间复杂度:$O(n)$。