[pull] master from azl397985856:master #21

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		- [3377. 使两个整数相等的数位操作](./problems/3377.digit-operations-to-make-two-integers-equal.md)
		- [3404. 统计特殊子序列的数目](./problems/3404.count-special-subsequences.md)
		- [3428. 至多 K 个子序列的最大和最小和](./problems/3428.maximum-and-minimum-sums-of-at-most-size-k-subsequences.md)
	- [3599. 划分数组以最小化异或值](./problems/3599.partition-array-to-minimize-xor.md)

		### 困难难度题目合集

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		- [第六章 - 高频考题(困难)](collections/hard.md)

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	## 题目地址(3599. 划分数组以最小化异或值)

	https://leetcode.cn/problems/partition-array-to-minimize-xor/

	## 题目描述

	给定一个整数数组 `nums` 和一个整数 `k`,你需要将数组划分为恰好 `k` 个非空子数组,使得所有子数组的异或值中的最大值最小化。返回这个最小的最大异或值。

	### 示例 1:

	```
	输入:nums = [0, 1, 2], k = 2
	输出:2
	解释:可以将数组划分为 [0, 1] 和 [2],异或值分别为 1 和 2,最大值为 2。
	```

	### 示例 2:

	```
	输入:nums = [1, 2, 3, 4], k = 3
	输出:4
	解释:可以将数组划分为 [1, 2], [3], [4],异或值分别为 3, 3, 4,最大值为 4。
	```

	### 约束:

	- \(1 \leq k \leq nums.length \leq 1000\)
	- \(0 \leq nums[i] < 2^{30}\)

	## 思路

	首先,看数据规模,不难想到解法应该是需要多重循环的那种。

	其次,题目是极小化最大值,先考虑能不能用二分。(极大化最小值也是一样的)。想了一下,似乎没好的思路。

	然后,接着想,对于每一个元素 nums[i] 是不是要么合并到前面的子数组,要么单独开辟一个新的子数组。这好像是典型的"选择"问题,应该用动态规划。想到这里就差不多解决了一大半困难了。

	我们可以通过两种方法解决这个问题:

	- 方法一:记忆化递归(Top-Down DP)

	- 状态定义:定义 `dp(i, k)` 表示从第 `i` 个元素开始,将剩余部分划分为 `k` 个子数组时,能得到的最小最大异或值。
	- 递推关系:对于每个起始位置 `i`,我们可以尝试不同的结束位置 `j`,计算子数组 `[i, j]` 的异或值,然后递归处理剩余部分。最终结果是所有可能划分中,最大异或值的最小值。
	- 剪枝优化:如果当前计算的异或值已经大于当前最优解,则无需继续递归。
	- 缺点:由于递归深度和重复计算较多,在大数据规模下可能会超时。

	- 方法二:动态规划(Bottom-Up DP)
	- 状态定义:定义 `dp[i][j]` 表示从第 `i` 个元素开始,划分为 `j` 个子数组时,能得到的最小最大异或值。
	- 递推关系:从后向前遍历数组,对于每个位置 `i` 和剩余划分数 `j`,枚举子数组的结束位置,计算异或值并更新最优解。
	- 初始化:`dp[n][0] = 0`(没有元素时划分为 0 个子数组,结果为 0),其他情况初始化为无穷大。
	- 优点:避免了递归的开销,时间复杂度更优。

	两种方法的核心都是通过动态规划找到最优划分方案,区别在于递归和迭代的实现方式。以及如果用迭代对于剪枝的优化效果会更明显。

	实际操作的过程,不熟悉的同学可以先递归,对于无法通过的题目可以尝试修改为动态规划。等熟练后建议大家数据规模不大递归即可,数据规模稍微有点大,直接动态规划。

	## 解法

	### 方法一:记忆化递归

	我们使用带记忆化的自顶向下方法来高效计算结果。

	```python
	from functools import cache
	from math import inf

	class Solution:
	def minXor(self, nums: List[int], k: int) -> int:
	@cache
	def dp(i: int, k: int) -> int:
	if i == len(nums):
	return 0 if k == 0 else inf
	ans = inf
	xor = 0
	for j in range(i, len(nums)):
	xor ^= nums[j]
	if xor >= ans: continue # 剪枝
	ans = min(ans, max(xor, dp(j + 1, k - 1)))
	return ans

	return dp(0, k)
	```

	#### 复杂度:

	- 时间复杂度:\(O(n^2 \cdot k)\),其中 \(n\) 是 `nums` 的长度。每个状态 `(i, k)` 需要 \(O(n)\) 时间计算,共有 \(O(n \cdot k)\) 个状态。
	- 空间复杂度:\(O(n \cdot k)\),用于记忆化缓存。

	### 方法二:动态规划

	自底向上的动态规划方法通过迭代构建解,避免了递归开销。

	```python
	from math import inf

	class Solution:
	def minXor(self, nums: List[int], k: int) -> int:
	n = len(nums)
	dp = [[inf] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
	dp[n][0] = 0

	for i in range(n - 1, -1, -1):
	for remaining_k in range(1, k + 1):
	xor = 0
	ans = inf
	for j in range(i, n):
	xor ^= nums[j]
	if xor >= ans: continue # 剪枝
	ans = min(ans, max(xor, dp[j + 1][remaining_k - 1]))
	dp[i][remaining_k] = ans

	return dp[0][k]
	```

	#### 复杂度:

	- 时间复杂度:\(O(n^2 \cdot k)\),由于三重循环。
	- 空间复杂度:\(O(n \cdot k)\),用于 DP 表。

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