Théorème de Borel
Pour les articles homonymes, voir Borel.
Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel-Cantelli ou Théorème de Borel-Lebesgue.
En mathématiques, le théorème de Borel[1] ,[2] ,[3] ,[4] ,[5] , ou lemme de Borel[6] , est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.
Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano [7] ,[8] et en 1895 par Émile Borel [9] . Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond [10] avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.
Énoncé simple
[modifier | modifier le code ]Pour toute suite {\displaystyle (a_{n})} de nombres complexes, il existe une fonction {\displaystyle f} de classe {\displaystyle C^{\infty }}, d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que
Conséquence
[modifier | modifier le code ]Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction {\displaystyle f} associée à la suite {\displaystyle \left((n!)^{2}\right)}.
Énoncé général
[modifier | modifier le code ]Soit {\displaystyle U} un ouvert de {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} et {\displaystyle (f_{n})} une suite de fonctions de classe {\displaystyle C^{\infty }} à valeurs complexes sur {\displaystyle U}. Alors il existe une fonction {\displaystyle F=F(t,x)} de classe {\displaystyle C^{\infty }} à valeurs complexes sur {\displaystyle \mathbb {R} \times U}, solution de l'équation aux dérivées partielles :
Il existe une preuve constructiviste de ce résultat[11] .
Notes et références
[modifier | modifier le code ]- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Lemme de Borel » (voir la liste des auteurs ).
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borel's lemma » (voir la liste des auteurs).
- ↑ Claude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz , éd. École Polytechnique, 2003, p. 3.
- ↑ Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76.
- ↑ Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 99.
- ↑ Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74.
- ↑ Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127.
- ↑ Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31.
- ↑ (it) A. Genocchi et G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale, Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragraphe 67.
- ↑ (en) Ádám Besenyei, « Peano's Unnoticed Proof of Borel's Theorem », Amer. Math. Monthly , vol. 121, no 1, , p. 69-72 (lire en ligne).
- ↑ É. Borel, Sur quelques points de la théorie des fonctions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 12 (1895) 9-55.
- ↑ (de) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. k. Bayer. Akad. Wiss., math.-phys. Klasse (1876) 225-237, ou bien Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
- ↑ (en) Marty Golubitsky et Victor Guillemin, Stable mappings and their singularities, New York, Springer, coll. « GTM » (no 14), , 3e éd., 209 p. (ISBN 978-0-387-90073-5).