n-sphère

La sphère au sens usuel est l'hypersphère de dimension 2 (appelée aussi 2-sphère) dans l'espace euclidien de dimension 3.

En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n+1}$ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}, notée en général $\mathbb {S} ^{n}$ {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}.

Définition

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Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R.

Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors

\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=R^{2}

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=R^{2}}.

Par exemple :

pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et –R ;
pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ;
pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel.

(Pour un paramétrage de l'hypersurface ainsi définie, voir « Coordonnées hypersphériques ».)

Propriétés

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Article détaillé : Calcul du volume de l'hypersphère.

Volume

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Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n – 1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :

V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}

{\displaystyle V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}},

où $\Gamma$ {\displaystyle \Gamma } désigne la fonction gamma. En particulier, on a :

n pair	n impair
$V_{n}$ {\displaystyle V_{n}}	${\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}$ {\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}}	$2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}$ {\displaystyle 2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}}

Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 :

n	Valeur du volume
n	exacte	approchée
1	$2$ {\displaystyle 2}	$2$ {\displaystyle 2}
2	$\pi$ {\displaystyle \pi }	$3{,}14159$ {\displaystyle 3{,}14159}
3	${\frac {4}{3}}\pi$ {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi }	$4{,}18879$ {\displaystyle 4{,}18879}
4	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$ {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}}	$4{,}93480$ {\displaystyle 4{,}93480}
5	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$ {\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}}	$5{,}26379$ {\displaystyle 5{,}26379}
6	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$ {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}}	$5{,}16771$ {\displaystyle 5{,}16771}
7	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$ {\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}}	$4{,}72478$ {\displaystyle 4{,}72478}
8	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$ {\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}}	$4{,}05871$ {\displaystyle 4{,}05871}

Le volume d'une telle boule est maximal pour n = 5. Pour n > 5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle :

\lim _{n\to \infty }V_{n}=0

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }V_{n}=0}.

L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2ⁿ ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit (de côté $2/{\sqrt {n}}$ {\displaystyle 2/{\sqrt {n}}}) est croissant en fonction de n.

Aire

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L'aire de l'hypersphère de dimension n−1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume V_n :

S_{n-1}={\frac {\mathrm {d} V_{n}}{\mathrm {d} R}}={\frac {nV_{n}}{R}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}

{\displaystyle S_{n-1}={\frac {\mathrm {d} V_{n}}{\mathrm {d} R}}={\frac {nV_{n}}{R}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}.

S_{n}={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}

{\displaystyle S_{n}={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}}.

n pair	n impair
$S_{n}$ {\displaystyle S_{n}}	$2^{{\frac {n}{2}}+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdots (n-1)}}$ {\displaystyle 2^{{\frac {n}{2}}+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdots (n-1)}}}	${\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}},円\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}$ {\displaystyle {\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}},円\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}

La n-sphère unité $\mathbb {S} ^{n}$ {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}} a donc pour aire :

{\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}~.

{\displaystyle {\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}~.}

Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 :

n	Aire de $\mathbb {S} ^{n}$ {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}
n	exacte	approchée
1	$2\pi$ {\displaystyle 2\pi }	$6{,}28318$ {\displaystyle 6{,}28318}
2	$4\pi$ {\displaystyle 4\pi }	$12{,}56637$ {\displaystyle 12{,}56637}
3	$2\pi ^{2}$ {\displaystyle 2\pi ^{2}}	$19{,}73920$ {\displaystyle 19{,}73920}
4	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$ {\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}}	$26{,}31894$ {\displaystyle 26{,}31894}
5	$\pi ^{3}$ {\displaystyle \pi ^{3}}	$31{,}00627$ {\displaystyle 31{,}00627}
6	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$ {\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}}	$33{,}07336$ {\displaystyle 33{,}07336}
7	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$ {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}}	$32{,}46969$ {\displaystyle 32{,}46969}