Image directe

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L'image directe de A, un sous-ensemble de ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, par une application ${\displaystyle f,円\colon X\to Y}${\displaystyle f,円\colon X\to Y} est le sous-ensemble de ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} formé des éléments qui ont, par ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, au moins un antécédent appartenant à ${\displaystyle A}${\displaystyle A} :

• On définit en particulier l'image d'une application ${\displaystyle f}${\displaystyle f} définie sur ${\displaystyle X}${\displaystyle X} :
  ${\displaystyle \mathrm {Im} (f)=f(X).}${\displaystyle \mathrm {Im} (f)=f(X).}
• On se gardera bien de confondre l'image directe par ${\displaystyle f}${\displaystyle f} d'une partie ${\displaystyle A}${\displaystyle A} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, avec l'image par ${\displaystyle f}${\displaystyle f} d'un élément ${\displaystyle x}${\displaystyle x} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, ou avec l'image de l'application ${\displaystyle f}${\displaystyle f}^[1] .
• Considérons l'application ${\displaystyle f}${\displaystyle f} de ${\displaystyle \{1,2,3\}}${\displaystyle \{1,2,3\}} dans ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}${\displaystyle \{a,b,c,d\}} définie par ${\displaystyle f(1)=a}${\displaystyle f(1)=a}, ${\displaystyle f(2)=c}${\displaystyle f(2)=c} et ${\displaystyle f(3)=d}${\displaystyle f(3)=d}. L'image directe de ${\displaystyle \{2,3\}}${\displaystyle \{2,3\}} par ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est ${\displaystyle f\left(\{2,3\}\right)=\{c,d\}}${\displaystyle f\left(\{2,3\}\right)=\{c,d\}} tandis que l'image de ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est ${\displaystyle \{a,c,d\}}${\displaystyle \{a,c,d\}}.

• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}${\displaystyle A_{1}} et ${\displaystyle A_{2}}${\displaystyle A_{2}} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X},
  ${\displaystyle f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).}${\displaystyle f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).}
  Plus généralement, pour toute famille ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} de parties de ${\displaystyle X}${\displaystyle X},
  ${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).}${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).}
• Pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}${\displaystyle A_{1}} et ${\displaystyle A_{2}}${\displaystyle A_{2}} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X},
  ${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})}${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})}
  et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est injective ^[2] .
  On peut même prouver que ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A_{1}}${\displaystyle A_{1}} et ${\displaystyle A_{2}}${\displaystyle A_{2}} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, on a ${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})}${\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})}.

Plus généralement, pour toute famille non vide ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} de parties de ${\displaystyle X}${\displaystyle X},

• Toute partie ${\displaystyle B}${\displaystyle B} de ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} contient l'image directe de son image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(B)}${\displaystyle f^{-1}(B)} ; plus précisément^[2]  :
  ${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B\cap \mathrm {Im} (f).}${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B\cap \mathrm {Im} (f).}
  En particulier, si ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est surjective alors ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}.

On peut même prouver que ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est surjective si et seulement si pour toute partie ${\displaystyle B}${\displaystyle B} de ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} on a ${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B}${\displaystyle f\left(f^{-1}(B)\right)=B}.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie ${\displaystyle A}${\displaystyle A} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X} est contenue dans l'image réciproque de son image directe :
  ${\displaystyle A\subset f^{-1}\left(f(A)\right)}${\displaystyle A\subset f^{-1}\left(f(A)\right)}
  et cette inclusion peut être stricte, sauf si ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est injective^[2] . On peut même prouver que ${\displaystyle f}${\displaystyle f} est injective si et seulement si pour toutes parties ${\displaystyle A}${\displaystyle A} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, on a ${\displaystyle A=f^{-1}\left(f(A)\right)}${\displaystyle A=f^{-1}\left(f(A)\right)}.
• Si l'on considère de plus une application ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}, alors l'image directe d'une partie ${\displaystyle A}${\displaystyle A} de ${\displaystyle X}${\displaystyle X} par la composée ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}${\displaystyle g\circ f:X\to Z} est :

• Théorie naïve des ensembles
• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)

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