Fonction quantile

Représentation graphique de la fonction quantile d'une loi normale d'espérance 0 et de variance 1

Notation	$Q(q)=F^{\leftarrow }(q)$ {\displaystyle Q(q)=F^{\leftarrow }(q)}

Principales caractéristiques
Ensemble de définition	$[0;1]$ {\displaystyle [0;1]}

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En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.

Définition formelle

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Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par

Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant q\right\}

{\displaystyle Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant q\right\}}

pour toute valeur de $q\in [0,1]$ {\displaystyle q\in [0,1]}^[1], la notation $F^{\leftarrow }$ {\displaystyle F^{\leftarrow }} désignant l’inverse généralisé à gauche de $F$ {\displaystyle F}.

Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors $Q(q)$ {\displaystyle Q(q)} est l'unique valeur de $x$ {\displaystyle x} telle que $F(x)=q$ {\displaystyle F(x)=q}. $F^{\leftarrow }$ {\displaystyle F^{\leftarrow }} correspond alors à la fonction réciproque ^[1] de $F$ {\displaystyle F}, notée $F^{-1}$ {\displaystyle F^{-1}}. En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

On dit que :

$Q(0,\!5)$ {\displaystyle Q(0,\!5)} est la médiane ;
$Q(0,\!25)$ {\displaystyle Q(0,\!25)} le premier quartile ;
$Q(0,\!75)$ {\displaystyle Q(0,\!75)} le troisième quartile ;
$Q(0,\!1)$ {\displaystyle Q(0,\!1)} le premier décile et
$Q(0,\!9)$ {\displaystyle Q(0,\!9)} le neuvième décile.

Exemples

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Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :

F(x;\lambda )=1-{\rm {e}}^{-\lambda x}1\!\!1_{x\geq 0}

{\displaystyle F(x;\lambda )=1-{\rm {e}}^{-\lambda x}1\!\!1_{x\geq 0}}

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que $1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p$ {\displaystyle 1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p} soit :

Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!

{\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}

Les quartiles sont donc :

premier quartile (p = 1/4): $-\ln(3/4)/\lambda ,円$ {\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda ,円}
médiane (p = 2/4) : $-\ln(1/2)/\lambda ,円$ {\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda ,円}
troisième quartile (p = 3/4) : $-\ln(1/4)/\lambda .,円$ {\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .,円}

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

loi de Cauchy de paramètres x₀ et a
$Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)$ {\displaystyle Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)}
loi logistique de paramètres μ et s
$Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)$ {\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)}
loi de Laplace
$Q(p;\mu ,b)=\mu -b,円\operatorname {sgn}(p-0,5),円\ln(1-2|p-0,5|).$ {\displaystyle Q(p;\mu ,b)=\mu -b,円\operatorname {sgn}(p-0,5),円\ln(1-2|p-0,5|).}

Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R}

{\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R} }

Notes et références

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↑ ^{a et b} (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, New York, Springer-Verlag, 15 septembre 2004, 461 p. (ISBN 978-0-387-40272-7, lire en ligne), définition 2.16, page 25.