Espace normal
En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal.
Définition
[modifier | modifier le code ]Soit X un espace topologique. On dit que X est normal[1] s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T4[2] :
Exemples
[modifier | modifier le code ]- Tout espace topologique métrisable est normal[3] .
En effet, il est parfaitement normal, ce qui entraîne qu'il est normal et même complètement normal.
Par exemple : Rn muni de sa topologie usuelle est normal. - Tout ensemble totalement ordonné, muni de la topologie de l'ordre, est (complètement) normal car (héréditairement) collectivement normal et même monotonement normal.
- Tout espace compact est normal [4] . Plus généralement, tout espace paracompact est collectivement normal.
- Un exemple d'espace compact non complètement normal est la planche de Tychonoff. En effet, la planche de Tychonoff épointée n'est pas normale (bien que localement compacte).
Propriétés
[modifier | modifier le code ]Propriétés élémentaires
[modifier | modifier le code ]- Si deux espaces topologiques sont homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi.En effet la propriété d'être normal est, comme tous les axiomes de séparation, formulée de façon à être invariante par homéomorphisme.
- Tout fermé d'un espace normal est normal (pour la topologie induite).Cette seconde assertion est, elle aussi, « immédiate, à partir de la remarque qu'une partie fermée d'un sous-espace fermé est aussi fermée dans l'espace entier[5] ».
Conditions nécessaires et suffisantes
[modifier | modifier le code ]Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété T4 (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :
- Un espace topologique X est T4 si, et seulement si, pour tout fermé F de X et tout ouvert O contenant F, il existe un ouvert U contenant F tel que l'adhérence de U soit incluse dans O[6] :
Soit F un fermé de X. La donnée d'un fermé G disjoint de F équivaut, par passage au complémentaire, à celle d'un ouvert O contenant F.
- Si U et V sont deux ouverts disjoints tels que F est inclus dans U et G dans V, alors le complémentaire de V est un fermé, qui contient U donc U, et qui est inclus dans O.
- Réciproquement, si U est un ouvert contenant F et si U est inclus dans O, alors le complémentaire de U est un ouvert contenant G et disjoint de U.
- Lemme d'Urysohn : Un espace topologique X est T4 si, et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue qui vaut 0 sur F et 1 sur G.
- Théorème de prolongement de Tietze : Pour un espace topologique X, les trois propositions suivantes sont équivalentes :
- X est T4 ;
- pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans R, il existe une application continue de X dans R qui prolonge f ;
- pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans un segment réel [–M, M], il existe une application continue de X dans [–M, M] qui prolonge f.
- Un espace X est T4 (si et) seulement si tout recouvrement ouvert localement fini de X possède une partition de l'unité subordonnée.
Condition suffisante de non-normalité
[modifier | modifier le code ]Lemme de Jones (de) [7] ,[8] — Pour qu'un espace séparable ne soit pas normal, il suffit qu'il contienne un sous-espace fermé discret ayant la puissance du continu.
Soit X un espace séparable, c'est-à-dire contenant un sous-ensemble dénombrable dense D. Toute application continue de X dans R est alors déterminée par sa restriction à D, donc l'ensemble de ces applications est de cardinal inférieur ou égal à |R||D| = (2א0 )א0 = 2א0.
Soit F un fermé discret de cardinal 2א0. L'ensemble des applications continues de F dans R est alors de cardinal 2(2א0) > 2א0, donc elles ne sont pas toutes continûment prolongeables à X.
D'après le théorème de prolongement de Tietze, X n'est donc pas normal.
Par cet argument, le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ne sont pas normaux.
La non-normalité du plan de Sorgenfrey prouve que le produit de deux espaces normaux n'est pas toujours normal (voir aussi : Droite de Michael).
Histoire
[modifier | modifier le code ]Cette notion provient du mathématicien Heinrich Tietze et date de 1923[9] . Nicolas Bourbaki précise à son sujet : « Les travaux récents ont mis en évidence que, dans ce genre de question (topologie algébrique), la notion d'espace normal est peu maniable, parce qu'elle offre trop de possibilités de « pathologie » ; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d'espace paracompact, introduite en 1944 par J. Dieudonné [9] . »
Notes et références
[modifier | modifier le code ]- ↑ Serge Lang, Analyse Réelle, Paris, InterEditions, , 230 p. (ISBN 978-2-7296-0059-4).
- ↑ Il suffit pour cela qu'il vérifie T1 et T4.
- ↑ F. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel , École Normale supérieure (2008-2009), p. 38.
- ↑ Lang 1977, p. 30.
- ↑ (en) James Dugundji, Topology, Allyn & Bacon, , 447 p. (ISBN 978-0-697-06889-7, lire en ligne), p. 145.
- ↑ Lang 1977, p. 36.
- ↑ (en) F. Burton Jones (en), « Concerning normal and completely normal spaces », Bull. Amer. Math. Soc. , vol. 43, no 10, , p. 671-677 (lire en ligne).
- ↑ (en) Peter J. Nyikos, « A history of the normal Moore space problem », dans C. E. Aull et R. Lowen, Handbook of the History of General Topology, vol. 3, Springer, (ISBN 978-0-79236970-7, lire en ligne), p. 1179-1212 : p. 1183.
- ↑ a et b Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques [détail des éditions], éd. 2006, p. 205-206 ou N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. IX.128.
Voir aussi
[modifier | modifier le code ]Articles connexes
[modifier | modifier le code ]- Espace de Dowker (en)
- Espace de Moore (topologie)
- Conjectures de Morita (en)
- Théorème d'insertion de Katětov-Tong (en)
- Théorème de Phragmén-Brouwer
Ouvrage
[modifier | modifier le code ](en) Michael Henle, A Combinatorial Introduction to Topology, Dover Publications, , 310 p. (ISBN 978-0-486-67966-2, lire en ligne)
Liens externes
[modifier | modifier le code ](en) P. S. Aleksandrov, « Normal space », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics , Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)