Image d'une application

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f

{\displaystyle f} est une fonction de

X

{\displaystyle X} dans

Y

{\displaystyle Y}. L'ovale jaune dans

Y

{\displaystyle Y} est l'image de

f

{\displaystyle f}.

On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A^[1]. C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images. On le note Im(f).

\operatorname {Im} (f)=\{y\in B\mid \exists x\in A\quad f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}=f(A)

{\displaystyle \operatorname {Im} (f)=\{y\in B\mid \exists x\in A\quad f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}=f(A)}.

Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment [–1, 1]^[1]. »^{[Note 1]}

Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée.

Une application est dite injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f.

Une application est dite bijective si elle est à la fois surjective et injective, ce qui signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et que celui-ci est unique.

On peut aussi parler d'image réciproque d'une fonction qui est définie par:

$\operatorname {Im} (f^{-1})=\{x\in A\mid f(x)\in B\}=f^{-1}(B)$ {\displaystyle \operatorname {Im} (f^{-1})=\{x\in A\mid f(x)\in B\}=f^{-1}(B)}

Notes et références

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Notes

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↑ Cette affirmation n'est vraie que si l'ensemble de départ est l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$ {\displaystyle \mathbb {R} } et est incorrecte si on généralise à l'ensemble des nombres complexes $\mathbb {C}$ {\displaystyle \mathbb {C} }.