Courbe quartique
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
En géométrie, une courbe quartique est une courbe algébrique de degré quatre.
Elle peut être définie par une équation de degré quatre :
- {\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0.}
Cette équation a quinze constantes. Cependant, elle peut être multipliée par une constante non nulle sans changer la courbe. De ce fait, l'espace des courbes quartiques peut être identifié avec l'espace projectif réel {\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}}. Il en résulte qu'il y a exactement une seule courbe quartique qui passe par un ensemble de quatorze points distincts en position générale, puisqu'une quartique a 14 degrés de liberté.
Une courbe quartique peut avoir un maximum de :
- quatre composantes connexes,
- vingt-huit bitangentes (en),
- trois points doubles ordinaires, à moins qu'elle ne se décompose.
Un exemple de courbe quartique (gauche) est la fenêtre de Viviani.
On distingue plusieurs familles de quartiques en fonction du genre.
- Si le genre = 0, alors ce sont les quartiques rationnelles
- Si le genre = 1, alors ce sont les quartiques elliptiques
- Si le genre = 2, alors ce sont les quartiques du diable
- Si le genre = 3, alors ce sont les quartiques de genre trois
Exemples
[modifier | modifier le code ]- Courbe bicorne (en)
- Ovale de Descartes
- Ovale de Cassini
- Courbe deltoïde
- Lemniscate de Booth (hippopède de Proclus)
- Lemniscate de Bernoulli
- Besace et son cas particulier, la Lemniscate de Gerono
- Spirique de Persée
- Section torique
- Kampyle d'Eudoxe (en)
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Courbe esperluette
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Courbe haricot
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Courbe bicuspide
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Courbe nœud
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Courbes cruciformes
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Courbe de Trott et quelques-unes des 28 bitangentes.
Liens externes
[modifier | modifier le code ]- Robert Ferréol, « Quartique », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables
- Robert Ferréol, « Quartique bicirculaire », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables