Convergence normale

En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si ${\displaystyle (f_{n})}${\displaystyle (f_{n})} est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général ${\displaystyle f_{n}}${\displaystyle f_{n}} converge normalement sur X s'il existe une suite de réels u_n tels que :

1. pour tout n, ${\displaystyle |f_{n}|}${\displaystyle |f_{n}|} est majorée par u_n sur X ;
2. la série de terme général u_n converge.

• La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme ^[1] . Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie :

La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

• La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue.
• La convergence uniforme comme la convergence absolue impliquent la convergence simple. Alors la convergence normale implique la convergence de la série.

Les implications réciproques sont fausses.

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire ^[2] .

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général ${\displaystyle f_{n}}${\displaystyle f_{n}} converge normalement sur X si