Convergence en moyenne quadratique

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Ne pas confondre avec la convergence quadratique d'une suite numérique. Pour l'application en probabilités, consulter la convergence en moyenne quadratique d'une variable aléatoire.

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d(f,g)=\int {|f-g|^{2}}

{\displaystyle d(f,g)=\int {|f-g|^{2}}}

Expression de la distance L₂
entre deux fonctions numériques
sur un même espace mesuré.

La convergence en moyenne quadratique d'une suite de fonctions est l'existence d'une limite pour la distance entre fonctions définie par l'intégrale du carré de la valeur absolue de leur différence. Cette convergence est donc celle induite par la norme de l'espace L² des fonctions de carré sommable.

Définition

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Une suite de fonctions $(f_{n})$ {\displaystyle (f_{n})} est dite convergente en moyenne quadratique vers une fonction $f$ {\displaystyle f} si et seulement si la suite d'intégrales $\int |f_{n}-f|^{2}$ {\displaystyle \int |f_{n}-f|^{2}} converge vers 0.