Constante limite de Laplace

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Ne doit pas être confondue avec la constante de Laplace d'un gaz utilisée en thermodynamique, autre appellation de l'indice adiabatique.

En mathématiques, la constante limite de Laplace, ou constante de Laplace ou encore limite de Laplace, est une constante mathématique, pouvant être définie comme la valeur maximale de l'excentricité pour laquelle une solution à l'équation de Kepler, exprimée sous forme de série entière, converge.

Elle vaut environ : 0,662 743 (suite A033259 de l'OEIS).

Définition à partir de l'équation de Kepler

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L'équation de Kepler $M=E-\varepsilon \sin E$ {\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E} relie l'anomalie moyenne $M$ {\displaystyle M} et l'anomalie excentrique $E$ {\displaystyle E} pour un corps un mouvement sur une ellipse d'excentricité $\varepsilon$ {\displaystyle \varepsilon }. Cette équation ne peut être résolue en $E$ {\displaystyle E} à l'aide de fonctions élémentaires, mais le théorème d'inversion de Lagrange apporte une solution série entière en $\varepsilon$ {\displaystyle \varepsilon } :

E=M+\sum _{n=1}^{\infty }(\sin ^{n}M)^{(n-1)}{\frac {\varepsilon ^{n}}{n!}}=M+\sin M,円\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M),円\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin M\right)\varepsilon ^{3}+\cdots

{\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }(\sin ^{n}M)^{(n-1)}{\frac {\varepsilon ^{n}}{n!}}=M+\sin M,円\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M),円\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin M\right)\varepsilon ^{3}+\cdots }.

Laplace a réalisé que cette série converge pour de petites valeurs de l'excentricité, mais diverge lorsque l'excentricité excède une certaine valeur. La constante limite de Laplace $L$ {\displaystyle L} correspond à cette valeur^[1]^,^[2]^,^[3]. C'est le rayon de convergence de cette série entière.

D'après cette référence^[4], c'est la recherche de cette mystérieuse constante qui aurait poussé Cauchy à créer l'analyse complexe.

Équations dont la constante de Laplace est solution

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Cauchy a montré que la constante $L$ {\displaystyle L} est la valeur maximum de ${\frac {x}{\cosh x}}$ {\displaystyle {\frac {x}{\cosh x}}} pour $x>0$ 0}"/>^[5]. Cette valeur est obtenue pour $\coth x=x$ {\displaystyle \coth x=x}, cette dernière équation s'écrivant aussi $\mathrm {e} ^{2x}={\frac {x+1}{x-1}}$ {\displaystyle \mathrm {e} ^{2x}={\frac {x+1}{x-1}}}.

Notant $L_{0}$ {\displaystyle L_{0}} la solution de cette équation, $L_{0}=1,199,678円\dots$ {\displaystyle L_{0}=1,199,678円\dots } (OEIS A085984 ), on a donc $L={\frac {L_{0}}{\cosh L_{0}}}={\frac {1}{\sinh L_{0}}}={\frac {L_{0}+1}{e^{L_{0}}}}=(L_{0}-1){e^{L_{0}}}={\sqrt {L_{0}^{2}-1}}$ {\displaystyle L={\frac {L_{0}}{\cosh L_{0}}}={\frac {1}{\sinh L_{0}}}={\frac {L_{0}+1}{e^{L_{0}}}}=(L_{0}-1){e^{L_{0}}}={\sqrt {L_{0}^{2}-1}}} .

$L$ {\displaystyle L} est aussi l'unique solution réelle de l'équation^[4] :

x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})=1+{\sqrt {1+x^{2}}}

{\displaystyle x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})=1+{\sqrt {1+x^{2}}}}.

Démonstration

$L\mathrm {e} ^{L_{0}}=L_{0}+1$ {\displaystyle L\mathrm {e} ^{L_{0}}=L_{0}+1}, donné ci-dessus, d'où l'équation puisque $L_{0}={\sqrt {1+L^{2}}}$ {\displaystyle L_{0}={\sqrt {1+L^{2}}}}.

Chainette avec tangente passant par l'origine, de pente

1/L

{\displaystyle 1/L}.

Interprétations géométriques

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Inverse de la pente d'une tangente à la chainette passant par l'origine

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$L_{0}$ {\displaystyle L_{0}}, solution de ${\frac {\cosh x}{x}}=\sinh x$ {\displaystyle {\frac {\cosh x}{x}}=\sinh x}, est l'abscisse du point où la tangente à la chainette d'équation $y=\cosh x$ {\displaystyle y=\cosh x} passe par l'origine, pour $x>0$ 0}"/>. Cette tangente a pour pente $\sinh L_{0}=1/L$ {\displaystyle \sinh L_{0}=1/L} (OEIS A240358 ).

L'angle avec l'axe des $x$ {\displaystyle x}, $\alpha =\arctan {(1/L)}=\operatorname {gd} (L_{0})$ {\displaystyle \alpha =\arctan {(1/L)}=\operatorname {gd} (L_{0})}, où $\operatorname {gd}$ {\displaystyle \operatorname {gd} } est la fonction de Gudermann, vaut environ 56,5° (OEIS A345737 ) ; on a : $\cos \alpha =L/L_{0},\sin \alpha =1/L_{0}$ {\displaystyle \cos \alpha =L/L_{0},\sin \alpha =1/L_{0}}.

La trajectoire de tir en rouge est la plus longue ; les angles indiqués sont les angles de tir initiaux.

Angle de tir pour un tir de longueur maximale

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L'angle précédent, $\alpha =\arctan {(1/L)}\approx 56,5^{\circ }$ {\displaystyle \alpha =\arctan {(1/L)}\approx 56,5^{\circ }} est aussi l'angle de tir au départ donnant une trajectoire de tir parabolique de longueur maximale^[6].

La distance de tir est alors $2(L/L_{0}^{2})a\approx 0,9.a$ {\displaystyle 2(L/L_{0}^{2})a\approx 0,9.a}, $a$ {\displaystyle a} étant la distance de tir maximale obtenue pour un angle de départ de 45°.

Démonstration

L'équation du tir est $y=x\tan \alpha \left(1-{\frac {x}{a\sin 2\alpha }}\right)$ {\displaystyle y=x\tan \alpha \left(1-{\frac {x}{a\sin 2\alpha }}\right)} où $a={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}$ {\displaystyle a={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}}, $v_{0}$ {\displaystyle v_{0}} vitesse initiale, $\alpha$ {\displaystyle \alpha } angle de tir. La longueur du tir est alors $a(\sin \alpha +\cos ^{2}\alpha {\text{ arsinh}}(\tan \alpha ))$ {\displaystyle a(\sin \alpha +\cos ^{2}\alpha {\text{ arsinh}}(\tan \alpha ))}. L'annulation de la dérivée s'obtient pour $\tan \alpha =\sinh(1/\sin \alpha )$ {\displaystyle \tan \alpha =\sinh(1/\sin \alpha )} qui donne bien $\tan \alpha =1/L$ {\displaystyle \tan \alpha =1/L}.

Caténoïde s'appuyant sur deux anneaux parallèles

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Caténoïdes s'appuyant sur deux anneaux parallèles.

Chainette passant par le point de coordonnées

(r,h)

{\displaystyle (r,h)}.

Chercher les chainettes d'équation $x/a=\cosh(y/a)$ {\displaystyle x/a=\cosh(y/a)} passant par le point $(r,h)$ {\displaystyle (r,h)}, revient à résoudre $r/h={\frac {\cosh u}{u}}$ {\displaystyle r/h={\frac {\cosh u}{u}}} où $u=h/a$ {\displaystyle u=h/a}. Il y a deux solutions pour $0<r/h<L$ {\displaystyle 0<r/h<L}, solution unique pour $r/h=L$ {\displaystyle r/h=L}, et pas de solution pour $r/h>L$ L}"/>.

Étant donné deux anneaux circulaires parallèles de rayons $r$ {\displaystyle r} distants de $2h$ {\displaystyle 2h}, la constante de Laplace $\approx 0,66$ {\displaystyle \approx 0,66} est donc la valeur maximum du rapport $r/h$ {\displaystyle r/h} pour l'existence de caténoïdes s'appuyant sur ces anneaux (solution au problème de Plateau). Pour $r/h=L$ {\displaystyle r/h=L} la chainette méridienne est tangente aux diagonales du rectangle cadre (en bleu ci-contre), d'après la première propriété ci-dessus.

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé «Laplace limit» (voir la liste des auteurs).

↑ P. S. de Laplace, Mécanique céleste, t. supplément au tome V, 1878-1904
↑ O. Callandreau, « Sur le développement des coordonnées elliptiques », Bulletin astronomique, Observatoire de Paris, n^o 3,‎ 1886, p. 528-532 (lire en ligne)
↑ V. Puiseux, « Sur la convergence des séries qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique des planètes », Journal de mathématiques pures et appliquées,1re série, vol. 14,‎ 1849, p. 33-39 (lire en ligne)
1 2 (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 267
↑ Charles Hermite, Cours de M. Hermite rédigé en 1882 par M. Andoyer, 19ème leçon, Hermann, 1887 (lire en ligne), p. 170
↑ (en) Joshua Cooper, Anton Swifto, « Throwing a Ball as Far as Possible, Revisited », Arxiv,‎ 8 novembre 2016 (arXiv 1611.02376v1 , lire en ligne)