Arc tangente

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}. Elle est notée arctan^[1] ou Arctan ^[2] , mais aussi Atan ou arctg en français et atan ou tan⁻¹ en anglais (attention de bien écrire ${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}=(\tan x)^{-1}}${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}=(\tan x)^{-1}} et non ${\displaystyle \tan ^{-1}(x)}${\displaystyle \tan ^{-1}(x)}).

Pour tout réel x :

${\displaystyle y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}${\displaystyle y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}.

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x (puisqu'elle en est la fonction réciproque).

Cette fonction réelle se prolonge au plan complexe en une fonction holomorphe sur ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \left(]-\infty ,-1]{\rm {i}}\cup [1,+\infty [{\rm {i}}\right)}${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \left(]-\infty ,-1]{\rm {i}}\cup [1,+\infty [{\rm {i}}\right)}.

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x) ${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x}${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x}.

La fonction arctan est dérivable (voir à dérivée d'une fonction réciproque) et vérifie^[3] : ${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}${\displaystyle \arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}.

Le développement en série de Taylor en 0 de la fonction arc tangente^[4] est : ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots } .

Bien que fonction arc tangente soit définie pour tout réel, cette série entière converge vers arctan uniquement pour ${\displaystyle |x|\leqslant 1}${\displaystyle |x|\leqslant 1}. On peut donc énoncer :

${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }.

La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de π ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus :

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }.

On peut déduire arctan(1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}}${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x={\frac {\pi }{2}}} ;

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}}${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{-}^{*}\quad \arctan {\frac {1}{x}}+\arctan x=-{\frac {\pi }{2}}}.

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} : ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad y=\arctan x\iff \tan y=x{\text{ et }}y\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}.

Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan x) = x. Mais l'équation arctan(tan y) = y n'est vérifiée que pour y compris entre ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}.

Si xy ≠ 1, alors^[3] :

${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi }${\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+k\pi }

où

${\displaystyle k={\begin{cases}0&{\text{si }}xy<1,\1円&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}}$1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}>0,\\-1&{\text{si }}xy>1{\text{ avec }}x{\text{ (et }}y{\text{) }}<0.\end{cases}}}"/>

D'où, si ${\displaystyle |x|\neq 1}${\displaystyle |x|\neq 1}, alors :

${\displaystyle 2\arctan x=\arctan {\frac {2x}{1-x^{2}}}+k\pi }${\displaystyle 2\arctan x=\arctan {\frac {2x}{1-x^{2}}}+k\pi }

où

${\displaystyle k={\begin{cases}0&{\text{si }}|x|<1,\1円&{\text{si }}x>1,\\-1&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}}$1,\\-1&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}}"/>

De même, pour ${\displaystyle y=1}${\displaystyle y=1}, on peut trouver une formule impliquant l'involution ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1-x}{1+x}}}${\displaystyle x\mapsto {\frac {1-x}{1+x}}}:

${\displaystyle \arctan x+\arctan \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi }{4}}-k\pi }${\displaystyle \arctan x+\arctan \left({\frac {1-x}{1+x}}\right)={\frac {\pi }{4}}-k\pi }

avec

${\displaystyle k={\begin{cases}0&{\text{si }}x>-1,\1円&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}}$-1,\1円&{\text{si }}x<-1.\end{cases}}}"/>

La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdes ^{[citation nécessaire]} . Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

Comme, pour ${\displaystyle u}${\displaystyle u} complexe différent de ${\displaystyle \pi /2+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }${\displaystyle \pi /2+k\pi ,k\in \mathbb {Z} }, la fonction tangente complexe vérifie ${\displaystyle \tan u={\frac {{\rm {e}}^{2{\rm {iu}}}-1}{{\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}+1}}}${\displaystyle \tan u={\frac {{\rm {e}}^{2{\rm {iu}}}-1}{{\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}+1}}}, la relation ${\displaystyle \tan u=z}${\displaystyle \tan u=z} équivaut à ${\displaystyle {\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}={\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}}${\displaystyle {\rm {e}}^{2{\rm {i}}u}={\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}}. On définit donc, pour ${\displaystyle z}${\displaystyle z} complexe différent de ${\displaystyle {\rm {i{\text{ et }}-{\rm {i}}}}}${\displaystyle {\rm {i{\text{ et }}-{\rm {i}}}}} la fonction complexe multivaluée arc tangente par^[5] :

${\displaystyle {\rm {arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\ln }{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}}${\displaystyle {\rm {arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\ln }{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}},

fonction définie à ${\displaystyle k\pi }${\displaystyle k\pi } près, la fonction logarithme népérien complexe étant définie à ${\displaystyle 2{\rm {i}}k\pi }${\displaystyle 2{\rm {i}}k\pi } près.

La détermination principale de la fonction arc tangente complexe est alors définie pour ${\displaystyle z}${\displaystyle z} dans ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur par^[6]

${\displaystyle {\rm {Arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}}${\displaystyle {\rm {Arctan}}\ z={\frac {1}{2{\rm {i}}}}{\rm {L}}{\frac {1+{\rm {i}}z}{1-{\rm {i}}z}}},

où ${\displaystyle {\rm {L}}}${\displaystyle {\rm {L}}} est la détermination principale du logarithme népérien.

Cette définition concorde avec celle de la fonction ${\displaystyle \arctan }${\displaystyle \arctan } définie sur les réels.

Comme la fonction tangente complexe définit une bijection de ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R} }${\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R} } dans ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, prolongeant la fonction tangente réelle, la détermination principale de la fonction arc tangente complexe vérifie :${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad u={\text{Arctan}}z\iff \tan u=z{\text{ et }}u\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R} }${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus {\big (}{\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right){\big )}\quad u={\text{Arctan}}z\iff \tan u=z{\text{ et }}u\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[+{\rm {i}}~\mathbb {R} }. Le développement en série entière, valable pour ${\displaystyle |z|\leqslant 1,z\neq {\text{i}},-{\text{i}}}${\displaystyle |z|\leqslant 1,z\neq {\text{i}},-{\text{i}}} est : ${\displaystyle {\text{Arctan }}z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}}${\displaystyle {\text{Arctan }}z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}}^{[5] ,[6]} .

De plus, par construction, cette détermination principale est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad {\rm {Arctan}}z={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {Argtanh} ({\rm {i}}z)}${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} \setminus \left({\rm {i}}\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad {\rm {Arctan}}z={\frac {1}{\rm {i}}}\operatorname {Argtanh} ({\rm {i}}z)}.

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.